Enunciado

Dada f x = | x | 3 . (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Ache lim x → 0 ⁡ f ( x ) , se existir. (c) Ache f ' ( 0 ) se existir

Passo 1

Para a letra (a), o gráfico ficará da seguinte forma:

Passo 2

Na letra (b) precisaremos calcular o limite da função dada quando x tende para 0. Para isso, precisamos fazer o limite quando x é negativo e quando x é positivo. Então precisaremos fazer os limites laterais para o ponto 0. Primeiro o limite pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 - - x 3

E Isso será:

l i m x → 0 - - x 3 = 0

Agora fazendo o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 + x 3

Resultando em:

l i m x → 0 + x 3 = 0

Como os dois resultados são iguais, o limite existe e é lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 .

Passo 3

Para a letra (c), aplicaremos a definição de derivada sobre a nossa função com o limite primeiro tendendo a 0 pela esquerda e depois pela direita, para mostrarmos que a derivada existe,

Primeiro pela esquerda:

f ' - 0 = l i m x → 0 - f x - f ( 0 ) x - 0 = l i m x → 0 - - x 3 x

f ' - 0 = l i m x → 0 - - x 3 x = l i m x → 0 - - x 2

f ' - 0 = 0

E agora pela direita:

f ' + 0 = l i m x → 0 + f x - f ( 0 ) x - 0 = l i m x → 0 + x 3 x

f ' + 0 = l i m x → 0 + x 3 x = l i m x → 0 + x 2

f ' + 0 = 0

Como os resultados são iguais, então f ' x existe e f ' 0 = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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