Enunciado

Uma partícula move-se numa reta, de acordo com a equação s = a + b t 2 ; onde a e b são constantes positivas. Prove que a medida da aceleração é inversamente proporcional a s 3 para todo t.

Passo 1

Certo, como o enunciado nos pede a aceleração, precisaremos derivar a equação de movimento duas vezes:

d s d t = d d t a + b t 2

Para a primeira derivada vamos aplicar a Regra da Cadeia:

d d t a + b t 2 = 1 2 a + b t 2 d d t ( a + b t 2 )

Resolvendo a derivada que apareceu, o resultado será:

v = d d t a + b t 2 = b t a + b t 2

E essa será a velocidade da partícula

Passo 2

Agora vamos derivar mais uma vez para encontrarmos a aceleração:

d v d t = d d t b t a + b t 2

Aplicando a Regra do Quociente:

d d t b t a + b t 2 = d d t b t a + b t 2 - b t d d t a + b t 2 a + b t 2 2

Resolvendo as derivadas:

d d t b t = b

E no caso da última, nós já temos o resultado do Passo 1:

d d t a + b t 2 = b t a + b t 2

E então a aceleração será:

a c = d d t b t a + b t 2 = b a + b t 2 - b t 2 a + b t 2 a + b t 2

Reescrevendo:

a c = b ( a + b t 2 ) - b t 2 a + b t 2 a + b t 2

a c = b ( a + b t 2 ) - b t 2 a + b t 2 3 2

a c = b a a + b t 2 3 2

Passo 3

Se reescrevermos a aceleração poderemos perceber que ela pode ser escrita como função do deslocamento s:

a c = b a a + b t 2 1 2 3

Mas s é:

s = a + b t 2 1 2

Substituindo:

a c = b a s 3

E então a aceleração é inversamente proporcional a s ao cubo para todo t.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal segundo a equação s = t 3 - 11 t 2 + 24 t + 100 , onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem no instante t s. (a) A partícula está
A equação de oferta de uma calculadora é y = m 2 + m , onde 100y calculadoras são fornecidas quando o preço de cada calculadora for m. Ache (a) a taxa média de variação da oferta em relação ao preço q
Se C(x) for a quantia em dinheiro correspondente ao custo total da fabricação de x cadeiras e C x = x 2 + 40 x + 800 , ache (a) a função custo marginal; (b) o custo marginal quando 20 cadeiras são fab
Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de peixes pequenos no lago, naquele período de tempo. Suponha qu