Enunciado

Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal segundo a equação s = t 3 - 11 t 2 + 24 t + 100 , onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem no instante t s. (a) A partícula está no ponto inicial quando t = 0 . Para que outros valores de t a partícula estará de novo no ponto inicial? (b) Determine a velocidade da partícula em cada instante em que ela estiver no ponto inicial e interprete o sinal da velocidade em cada caso.

Passo 1

Na letra (a) precisamos encontrar as raízes do polinômio quando s = 100 , assim saberemos em quais valores de t a função passa por 100, para isso basta substituirmos na equação que foi dada:

100 = t 3 - 11 t 2 + 24 t + 100

Ficaremos com:

t 3 - 11 t 2 + 24 t = 0

Colocando t em evidência:

t t 2 - 11 t + 24 = 0

O primeiro valor que podemos obter pela equação acima é t = 0 , mas esse o enunciado já nos deu. Vamos então usar o polinômio de dentro para obtermos as próximas raízes.

Passo 2

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

No caso do polinômio da equação a fórmula ficará:

t = 11 ± ( - 11 ) 2 - 4 . 1.24 2 = 11 ± 25 2 = 11 ± 5 2

E então teremos os seguintes valores de t:

t = 3   e   t = 8

Passo 3

A letra (b) nos pede para encontrarmos a velocidade da partícula, para isso vamos derivar a nossa equação:

s = t 3 - 11 t 2 + 24 t + 100

Ficaremos com:

d s d t = d d t t 3 - 11 t 2 + 24 t + 100

Como trata-se somente de polinômios, podemos fazer a derivação direta em cada termo:

v = d s d t = 3 t 2 - 22 t + 24

Essa será a equação da velocidade da partícula. Agora basta substituir os valores de cada instante que calculamos para encontrarmos os valores das velocidades instantâneas:

v 0 = 3 . 0 2 - 22.0 + 24 = 24 c m / s

v 3 = 3 . 3 2 - 22.3 + 24 = - 15 c m / s

v 8 = 3 . 8 2 - 22.8 + 24 = 40 c m / s

Como no enunciado a reta possui uma orientação, significa que para t = 0   e   t = 8 a partícula possui velocidade no sentido da orientação da reta. Enquanto que para t = 3 , a velocidade está no sentido oposto ao da reta.

Resposta

  1. t = 3   e   t = 8
  2. v 0 = 24 c m / s

v 3 = - 15 c m / s

v 8 = 40 c m / s

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