Enunciado

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metros

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f t = cos ⁡ π ⋅ t 4

Passo 1

  1. Sabemos que
  2. v t = f ' t = - sin ⁡ π ⋅ t 4 ⋅ π 4

    Passo 2

  3. v ( 3 )
  4. v 3 = - sin ⁡ 3 π 4 ⋅ π 4 = - 2 2 ⋅ π 4 = - π ⋅ 2 8 ≈ - 0,56 m / s

    Passo 3

  5. A partícula está em repouso quando
  6. v t = 0 = - sin ⁡ π ⋅ t 4 ⋅ π 4

    sin ⁡ π ⋅ t 4 = 0

    Temos que

    sin ⁡ k π = 0 ,   o n d e   k = 0,1 , 2 , …

    Então,

    π ⋅ t 4 = k ⋅ π

    t = 0,4   e   8 s

    Passo 4

  7. A partícula se move no sentido positivo quando v t > 0
  8. - sin ⁡ π ⋅ t 4 ⋅ π 4 > 0

    sin ⁡ π ⋅ t 4 < 0

    Isso ocorrerá quando

    π < π ⋅ t 4 < 2 π

    Logo,

    4 < t < 8

    Passo 5

  9. Sabemos que v t = 0   nos instantes t = 0,4   e   8 s . Então, calcularemos nos intervalos
  10. 0 ≤ t < 4   e   4 < t < 8

    f 4 - f 0 = - 1 - 1 = 2 m

    f 8 - f 4 = 1 + 1 = 2 m

    Então a distância total s

    s = 2 + 2 = 4 m

    Passo 6

  11. Esboçando o gráfico f t = s no tipo da imagem 2, ficamos com
  12. Passo 7

  13. Sabemos que
  14. a t = v ' t = - π 4 ⋅ cos ⁡ π ⋅ t 4 ⋅ π 4 = - π 2 16 ⋅ cos ⁡ π ⋅ t 4

    a 3 = - π 2 16 ⋅ cos ⁡ π ⋅ 3 4 =   - π 2 16 ⋅ - 2 2 = π 2 2 32 m / s 2

    Passo 8

  15. Fazendo os gráficos, onde f t → v e r m e l h o ,     v t → p r e t o   e   a t → a z u l
  16. Passo 9

  17. A partícula está acelerando quando a   e v possuem o mesmo sinal. Logo, ela está acelerando nos intervalos

0 < t < 2   e   4 < t < 6

A partícula está freando quando a   e v possuem sinais opostos. Logo, ela está freando nos intervalos

2 < t < 4   e   6 < t < 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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