Enunciado

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Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

x y = x 2 + 4

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os pontos, exceto em x = 0 . Dessa forma, nosso domínio é o conjunto de números reais exceto x = 0 .

( B ) Intersecções com os eixos

Não existem intersecções

( C ) Simetria

f - x = - f ( x )

Possui simetria na Origem

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → ∞ ( x + 4 x   ) =   ⁡ ∞

Mas f x - x = 4 / x → 0 conforme x → ± ∞

Dessa forma, em y = x temos uma assíntota oblíqua.

Resolvendo o limite

lim x → ± 0 + ⁡ ( x + 4 x ) = ∞

E lim x → 0 - ⁡ x + 4 x = - ∞

Então, x = 0   é a equação da assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = 1 - 4 x 2 > 0 ↔ x 2 > 4 ↔ x > 2   o u   x < 2

Logo temos f crescendo em - ∞ ,   - 2 e   ( 2 ,   ∞ ) e decrescendo em - 2 ,   0   e   ( 0 ,   2 )

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

Máximo Local em f - 2 = - 4

Mínimo Local em f 2 = 4

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 8 x 3 > 0 ↔ x > 0

Logo f possui concavidade para cima em 0 ,   ∞ e concavidade para baixo em - ∞ , 0 .Não há ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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