Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

y = - 2 x 2 + 5 x - 1 2 x - 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os pontos, exceto em x = 1 2 . Dessa forma, nosso domínio é o conjunto de números reais exceto x = 1 2 .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 1 . Nossa função intercepta o eixo x em f x = 0 .

- 2 x 2 + 5 x - 1 2 x - 1 = 0

- 2 x 2 + 5 x - 1 = 0

Solucionando a equação, temos

x = - 5 ± 17 - 4

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x em x = 0.22 e x = 2.28 .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → 1 2 - f x = - ∞ e lim x → 1 2 + ⁡ f ( x ) = ⁡ ∞

Dessa forma, em x = 1 2 temos uma assíntota vertical.

Resolvendo o limite

lim x → ± ∞ ⁡ f x - ( - x + 2 ) = 0

Então, - x + 2 é a equação da assíntota oblíqua.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = - 1 - 2 2 x - 1 2

Como f ' x < 0 , para x ≠ 1 2 , então f está decrescendo em - ∞ , 1 2 e 1 2 , ∞ .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 8 2 x - 1 3

Dessa forma, como f ' ' x > 0 para x > 1 2 e f ' ' x < 0 para x < 1 2 , então f possui concavidade para cima em 1 2 ,   ∞ e concavidade para baixo em - ∞ , 1 2 .Não há ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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