Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

y = x 2 + 12 x - 2

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os pontos, exceto em x = 2 . Dessa forma, nosso domínio é o conjunto de números reais exceto x = 2 .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = - 6 . Nossa função não intercepta o eixo x , pois não possui solução real.

x 2 + 12 x - 2 = 0

x 2 + 1 2 = 0

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → 2 - f x = - ∞ e lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = ⁡ ∞

Dessa forma, em x = 2 temos uma assíntota vertical.

Resolvendo o limite

lim x → ± ∞ ⁡ f x - ( x + 2 ) = lim x → ± ∞ ⁡ 16 x - 2 = 0

Então, x + 2 é a equação da assíntota oblíqua.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = 1 - 16 x - 2 2 = x 2 - 4 x - 12 x - 2 2 = x - 6 x + 2 x - 2 2

Então para f ' x > 0 ,quando x < - 2   o u   x > 6 e f ' x < 0 quando - 2 < x < 2   o u   2 < x < 6 , então f está crescendo em - ∞ , - 2 e 6 , ∞ , e decrescendo em - 2 ,   2   e   2 ,   6 .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função tem seu máximo local para f - 2 = - 4 e mínimo local para f 6 = 12

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 16 - 2 x - 2 3 = 32 x - 2 3

Dessa forma, como f ' ' x > 0 para x > 2 e f ' ' x < 0 para x < 2 então f possui concavidade para cima em 2 ,   ∞ e concavidade para baixo em - ∞ , 2 .Não há ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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Use o comportamento assintótico de f x = cos ⁡ x +1 / x 2 para esboçar seu gráfico sem seguir o roteiro de esboço de curvas desta seção.
Mostre que a curva y = x 2 + 4 x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + 2 e y = - x - 2 . Use esse fato para esboçar a curva.
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = ( x + 1 ) 3 ( x - 1 ) 2