Enunciado

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metros

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f t = cos ⁡ π ⋅ t 4

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função posição de uma partícula

f t = cos ⁡ π ⋅ t 4

E nosso objetivo é a partir dela encontrar uma série de coisas: A função velocidade, a velocidade em t = 3 s , quando a partícula está em repolso, quando o movimento da partícula é positivo, a distancia percorrida no intervalo de 8 s , encontrar a função aceleração, esboçar os gráficos da posição, velocidade e aceleração, encontrar a aceleração em t = 3 s e por fim determinar o intervalo de tempo quando a partícula está acelerando e quando a partícula está freiando.

É muita coisa, não é?

Bom... para resolver esse problema temos que lembrar dos princípios físicos que diz que a velocidade é a variação da posição sobre a variação no tempo

v = ∆ s ∆ t

E a aceleração é a variação da velocidade sobre a variação do tempo.

a = ∆ v ∆ t

Trazendo isso para a nossa realidade, taxa de variação é a mesma coisa que derivada em um função, ou seja

v = d s d t ,     a = d v d t

Então derivando a função f vamos obter a função velocidade e derivando a função velocidade, vamos obter a função aceleração...

Veja só!

Passo 2

Se s = f t = cos ⁡ π ⋅ t 4 , então

v = d cos ⁡ π ⋅ t 4 d t

Pela regra da cadeia...

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Ou seja.

v t = d π ⋅ t 4 d t · d cos ⁡ u d u

v t = π 4 - sin ⁡ u

v t = - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4

Show? A partir dessa função podemos responder os quatro primeiros quesitos do problema...

Veja só!

Passo 3

No item a) é pedido a velocidade em função do tempo t .

Isso é justamente o que fizemos no passo 2, ou seja

v t = - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4

No item b) é pedido a velocidade em t = 3 s , então substituímos t = 3 em v t e encontramos o resultado.

v 3 = - π 4 sin ⁡ π ⋅ 3 4

v 3 = - π 2 8   m / s

No item c) temos que descobrir quando a partícula está em repolso...

Pensando fisicamente, se uma partícula está em repolso, significa que ela está parada, logo, sua velocidade é nula.

Isso acontece quando v t = 0 , ou seja

v t = - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4 = 0

- π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4 = 0

Ou seja, ou t = 0 , ou π ⋅ t 4 = π k , onde k é um numero inteiro.

t = 0 s

t = 4 k

Já no item d) queremos saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo, ou seja, quando v t > 0

- π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4 > 0

Pra essa inequação ser satisfeita, s i n tem que ser negativo, ou seja

π + 2 π k < π 4 t < 2 π + 2 π k

Multiplicamos todos os lados por 4 / π para isolar t no meio...

4 + 8 k < t < 8 + 8 k

Tranquilo até aqui?

Passo 4

No item e) queremos saber qual a distancia percorrida nos primeiros 8 segundos...

Pra isso vamos usar a função f t e substituímos t = 8 s

f t = cos ⁡ π ⋅ t 4 → f 8 = cos ⁡ π ⋅ 8 4

f 8 = 1 m

Bora continuar!

Passo 5

No item f) queremos ilustrar um gráfico que represente o movimento da matricula...

s

1 π / 4 x = 8

Bacana, não é?

Passo 6

No item g) queremos encontrar a função aceleração e a aceleração em t = 3 s .

Como vimos no passo 1.

a = d v d t

Se v t = - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4 , então

a t = d - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4 d t

Pela regra da cadeia novamente...

a t = - π 4 d π ⋅ t 4 d t · d sin ⁡ u d u

a t = - π 2 16 · cos ��� u

a t = - π 2 16 cos ⁡ π ⋅ t 4

Substituindo t = 3 s , temos que a aceleração nesse instante é

a 3 = - π 2 16 cos ⁡ π ⋅ 3 4

a 3 = π 2 2 32 m / s 2

Estamos quase no fim!

Passo 7

No item h), o problema pediu pra plotar os gráficos de f t , v t e a t usando uma ferramenta gráfica...

Em vermelho temos f t , em lilás v t e em preto a t

Show de bola?

Passo 8

Por fim, no item i) queremos determinar os intervalos em que a é positivo e negativo.

Se a t = - π 2 16 cos ⁡ π ⋅ t 4 , a será positivo se o cosseno for negativo, ou seja

π 2 + 2 π k < π 4 t < 3 π 2 + 2 π k

Multiplicamos todos os lados por 4 / π para isolar t no meio...

2 + 8 k < t < 6 + 8 k

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) v t = - π 4 sin ⁡ π ⋅ t 4

b) v 3 = - π 2 8   m / s

c) t = 0 s , t = 4 k

d) 4 + 8 k < t < 8 + 8 k

e) f 8 = 1 m

f)

g) a t = - π 2 16 cos ⁡ π ⋅ t 4 , a 3 = π 2 2 32 m / s 2

h)

i) 2 + 8 k < t < 6 + 8 k

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