Enunciado

1-6. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s em pés.

  1. Encontre a velocidade no instante t .
  2. Qual a velocidade depois de 3 s?
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

5.

f ( t ) = t t 2 + 1

Passo 1

Faala meus queridos!

Nessa questão, nos é dado a seguinte função posição para uma partícula:

f ( t ) = t t 2 + 1

E a partir dela temos que encontrar a velocidade e depois aplicar o que encontramos nas letras seguintes.Para isso, basta lembrarmos que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. E quando temos uma função posição, ao derivarmos ela com relação ao tempo, vamos obter a função velocidade. Afinal, a velocidade é a taxa de variação temporal da posição, isso é, como a posição varia com o tempo.

v t = d   s t d t

Passo 2

a) Encontre a velocidade no instante t .

A derivada da função posição, é a velocidade!

v t = d s d t = t t 2 + 1 '

Aqui temos uma regra do quociente, aplicando a regra, teremos:

v t = 1 t 2 + 1 - 2 t t t 2 + 1 2

v t = t 2 + 1 - 2 t 2 t 2 + 1 2

v t = 1 - t 2 t 2 + 1 2

Prontinho.

b) Qual a velocidade depois de 3 s?

Apenas precisamos substituir t = 3 .

v 3 = 1 - 3 2 3 2 + 1 2 =

- 8 10 2 =

- 8 100 = - 2 25   p é s / s

Passo 3

c) Quando a partícula está em repouso?

A partícula vai estar em repouso quando v ( t ) = 0 .

1 - t 2 t 2 + 1 2 = 0

A parte de baixo é sempre maior do que zero, podemos retirá-la nesse cálculo!

1 - t 2 = 0

t 2 = 1

t = 1

t = - 1 não pode ser raiz, pois é menor que zero!

(d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

A partícula está se movendo no sentido positivo quando v ( t ) > 0 .

1 - t 2 t 2 + 1 2 > 0

A parte de baixo é sempre positiva e nunca nula, podemos desconsiderar no estudo do sinal da expressão:

1 - t 2 > 0

1 > t 2

Se t 2 é menor que 1 , então t é menor que 1 ou maior que - 1 .

- 1 < t < 1

Porém o t não pode ser negativo, então:

0 < t < 1

Passo 4

(e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

Como há uma inversão de sentido em t = 1 , para calcularmos a distância percorrida, devemos calcular o módulo do deslocamento de 0 até 1 s e depois somar com o módulo do deslocamento de 1 s até 8 s .

Isso se dá, pois de 0 até 1 s, o deslocamento é positivo, e de 1 s até 8 s o deslocamento é negativo, mas para a distância percorrida não importa se a partícula anda para frente ou para trás, mas sim o quanto ela anda.

Vamos fazer de t = 0 até t = 1 s .

f ( 0 ) = 0 0 2 + 1 = 0

f ( 1 ) = 1 1 2 + 1 = 1 2 p é s

A distância percorrida nesse intervalo será:

f 1 - f 0

= 1 2 - 0 = 1 2 p é s

Vamos fazer de t = 1 s até t = 8 s .

f ( 1 ) = 1 1 2 + 1 = 1 2 p é s

f 8 = 8 8 2 + 1

= 8 64 + 1 = 8 65 p é s

A distância percorrida nesse intervalo será:

f 8 - f 1 = 8 65 - 1 2

= 16 - 65 130

= - 49 130

= 49 130 p é s

Para sabermos a distância percorrida, precisamos apenas somar essas distâncias.

Distância Percorrida é

49 130 p é s + 1 2 p é s = 114 130 p é s = 57 65 p é s

Passo 5

f) Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

Agora faremos o diagrama!

Percebemos que de 0 até 1 s , a partícula anda para a frente saindo a posição s = 0 até s = 1 2 p é s .

Depois ela inverte o sentido, andando para trás, e de 1 s até 8 s sai da posição s = 1 2 p é s até s = 8 65 p é s .

Resposta

(a)

v ( t ) = 1 - t 2 t 2 + 1 2

(b)

v ( 3 ) = - 2 25   p é s / s

(c)

t = 1 s

(d)

0 < t < 1

(e)

Distância Percorrida é 57 65 p é s

(f)

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