Enunciado

Encontre uma fórmula explícita de f - 1 e use-a para fazer na mesma tela os gráficos de f - 1 ,   f e dada a reta y = x . Para verificar seu trabalho veja se seus gráficos de f e f - 1 são reflexões em torno da reta.

f x = x 2 + 2 x ,     x > 0

Passo 1

Usando a função f ( x ) devemos encontrar a função inversa f - 1 e plotar ambas em um mesmo gráfico juntamente com a função y = x para verificar se existe simetria. Sendo assim, para encontrarmos uma expressão para f - 1 seguiremos os seguintes passos:

Passo 1: escrever y = f x .

Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y , ou seja, trocando x por y e y por x (se possível).

Passo 3: a nossa função inversa vai ser dada isolando o nosso novo y .

Passo 2

Como a função já está no formato y = f ( x ) , vamos direto para o passo 2. Assim, teremos

y = x 2 + 2 x

Sabemos, pelo enunciado, que x > 0 , então, podemos elevar ambos os lados ao quadrado e “sumir” com a raíz, ficando com

y 2 = x 2 + 2 x

Trocando x por y vamos ter

x 2 = y 2 + 2 y → y 2 + 2 y - x 2

Essa equação é uma equação do segundo grau que podemos resolver utilizando baskhara e vamos encontrar

y = - 1 ± 1 + x 2 ,   x > 0 →   f - 1 = - 1 + 1 + x 2

Que é nossa função inversa. Verificando graficamente vamos ter

Resposta

f - 1 = - 1 + 1 + x 2

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a) Se transladamos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua reflexão em torno da reta y = x ? Em vista deste princípio geométrico, encontre uma expressão para a inversa de g x = f ( x + c ) E
Demonstre a Equação 4.
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