Enunciado

A posição de um carro é dada pelos valores mostrados na tabela.

Encontre a velocidade média para o período de tempo começando quando t = 2 e durando

i   3 s       i i   2 s         i i i 1 s

Use o gráfico de s como uma função de t para estimar a velocidade instantânea quando t = 2 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? O problema nos dá uma tabela com diversos instantes de tempo e suas posições correspondentes.

Queremos determinar a velocidade média para o diversos períodos de tempo, então é bom a gente relembrar como calculamos a velocidade média

v m e d = s t f - s ( t i ) t f - t i

É simplesmente a razão entre o deslocamento percorrido em um determinado intervalo de tempo dividido pelo intervalo de tempo correspondente.

A velocidade média entre t = 2 e t = 2 + h será dada por

s 2 + h - s ( 2 ) h

Beleza? Agora é só aplicar nos instantes pedidos!

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Para o primeiro intervalo, começando em t i = 2 e finalizamos em t f = 5 s , assim a velocidade média fica:

i h = 3 → s 5 - s 2 3

E usando os dados da tabela:

178 - 32 3 ≈ 48.7   f t / s  

Tranquilo? Agora vamos repetir esse processo para os outros intervalos! Para t i = 2 e t f = 4 :

i i   h = 2 → s 4 - s ( 2 ) 2 = 119 - 32 2 = 43,5   f t / s

E por fim para t i = 2 e t f = 3 :

i i i   h = 1 → s 3 - s ( 2 ) 1 = 70 - 32 = 38   f t / s

Percebemos que a velocidade média muda! Sim, vai se aproximando da velocidade instantânea!

Passo 3

Podemos aproximar a velocidade instantânea em t = 2 a partir da reta tangente ao gráfico nesse ponto. A ideia é plotar os pontos de posição e tempo e traçar uma curva suave entre os pontos. Aí a partir disso, em t = 2 traçamos uma reta tangente ao gráfico e vemos onde ele passa! Pegando dois pontos, podemos determinar a inclinação!

E sabemos que a inclinação da reta tangente de um gráfico de distância por tempo é a velocidade instantânea!

Bora lá?

A linha pontilhada em azul é a curva suave entre os pontos e a reta pontilhada é a reta tangente.

utilizando os pontos 0.8,0   e   5,118 que pertencem à reta temos a velocidade instantânea

118 - 0 5 - 0.8 ≈ 28 f t / s

É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

i h = 3 → s 5 - s ( 2 ) 3 = 178 - 32 3 ≈ 48.7   f t / s  

i i   h = 2 → s 4 - s ( 2 ) 2 = 119 - 32 2 = 43,5   f t / s

i i i   h = 1 → s 3 - s ( 2 ) 1 = 70 - 32 = 38   f t / s

b   28 f t / s

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39. Ache uma equação da reta normal à curva y = 10 14 - x 2 no ponto (4,-5).
38. Ache uma equação da reta nomral à curva y = 4 x 2 - 8 x no ponto (1,-4).
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y + x = 3 e tangente ao gráfico de f x = x 2 - 3 x .
Determine todos os pontos a , b sobre a curva y = x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 8 x + 12 tais que a reta tangente em a , b seja paralela à reta 8 x - y + π = 0 .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x = x 2 - 3 x , no ponto de abscissa 0