Enunciado

Uma partícula move-se com velocidade v t m/s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e distância percorrida por ela durante os intervalos de tempos dados.

v t = 1 2 - 1 t 2 ;             1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Temos que o deslocamento é a integral da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, e para encontrar o deslocamento vamos integrar a expressão da velocidade usando os limites de integração como os extremos do intervalo, vamos lá:

s t = ∫ 1 3 1 2 - 1 t 2 d t = ∫ 1 3 1 2 - t - 2 d t = t 2 - t - 2 + 1 - 2 + 1 1 3 = t 2 - t - 1 - 1 1 3 = t 2 + 1 t 1 3 =

= 3 2 + 1 3 - 1 2 + 1 1 = 9 + 2 6 - 1 2 + 1 = 11 6 - 1 + 2 2 = 11 6 - 3 2 = 11 - 9 6 = 2 6 = 1 3

Pronto, o deslocamento é de 1 3 m.

Passo 2

Já a distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, que vai a expressão com módulo, da forma:

s t = ∫ 1 3 1 2 - 1 t 2 d t

Como a expressão tem módulo, vamos achar onde ela é negativa e onde é positiva igualando a zero e analisando:

1 2 - 1 t 2 = 0 → t 2 - 2 2 t 2 = 0 → t 2 - 2 = 0 → t = ± 2

Só vamos usar a raiz positiva, pois o valor negativo não está dentro do intervalo, temos então que a função dentro do módulo é negativa para valores 1 ≤ t < 2 e positiva para 2 < t ≤ 3 , assim vamos dividir a integral em duas, uma primeira com sinal negativo para poder ter resultado positivo e a segunda positiva:

s t = ∫ 1 3 1 2 - 1 t 2 d t = ∫ 1 2 - 1 2 - 1 t 2 d t + ∫ 2 3 1 2 - 1 t 2 d t =

= ∫ 1 2 - 1 2 - t - 2 d t + ∫ 2 3 1 2 - t - 2 d t = - t 2 - t - 2 + 1 - 2 + 1 1 2 + t 2 - t - 2 + 1 - 2 + 1 2 3 = - t 2 - t - 1 - 1 1 2 + t 2 - t - 1 - 1 2 3 = - t 2 + 1 t 1 2 + t 2 + 1 t 2 3 =

= - 2 2 + 1 2 - 1 2 + 1 1 + 3 2 + 1 3 - 2 2 + 1 2 =

= - 2 2 + 1 2 ⋅ 2 2 - 1 2 + 1 + 9 + 2 6 - 2 2 + 1 2 ⋅ 2 2 =

= - 2 2 + 2 2 - 3 2 + 11 6 - 2 2 + 2 2 = - 2 2 2 - 3 2 + 11 6 - 2 2 - 2 2 =

= - 2 + 3 2 + 11 6 - 2 2 - 2 2 = 9 + 11 6 + - 2 ⋅ 2 - 2 - 2 2 = 20 6 + - 4 2 2 = 1 0 3 - 2 2

E a distância percorrida é de 10 3 - 2 2 m.

Resposta

1 3 m e 10 3 - 2 2 m

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