Enunciado

Esboçar a região de integração e calcular as integrais

∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x

Passo 1

Lembra que na integral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção e isso é justamente iterar a nossa integral tripla.

Passo 2

Na nossa integral vemos que a ordem de integração é dz, depois dy e por fim dx, logo, a partir dessa informação podemos tirar os nossos limites para cada variável

Portanto,

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ x 2

0 ≤ z ≤ y

Isso nos dá a seguinte região T :

Que é a região abaixo do plano z   =   y   e acima de z   =   0   e a parte de fora do cilindro cuja a diretriz é y   =   x 2 até o plano x   =   2

Passo 3

Agora, vamos resolver nossa integral

∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x

=   ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 y 2 d y d x =   ∫ 0 2 x 6 3 d x = x 7 21 = 128 21

Resposta

128 21

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