Enunciado

Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a.

x 4 - y 4 = 2 x y

Passo 1

Utilizando a substituição

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

Para transformar a equação para coordenadas polares

x 4 - y 4 = 2 x y

r 4 cos 4 ⁡ θ - r 4 sen 4 ⁡ θ = 2 r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Utilizando a relação 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ

r 4 cos 4 ⁡ θ - sen 4 ⁡ θ = r 2 sen ⁡ 2 θ

Utilizando a diferença de quadrados a 2 - b 2 = a - b a + b , neste caso a = cos 2 ⁡ θ e b = sen 2 ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ

Pela identidade fundamental da trigonometria cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 e usando a relação cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ

r 2 cos ⁡ 2 θ = sen ⁡ 2 θ

r 2 = tg ⁡ 2 θ

r = tg ⁡ 2 θ

Passo 2

A tangente é uma função problemática, pois não podemos aplicar um argumento múltiplo inteiro de π / 2 , como temos tg ⁡ 2 θ , não podemos aplicar múltiplos de π / 4 .

Nesses pontos, vamos calcular os limites laterais, para isso vamos assumir que θ → n π 4 , n ∈ N , n > 0 , então temos os seguintes limites

lim θ → n π 4 - ⁡ r = lim θ → n π 4 - ⁡ tg ⁡ 2 θ

Temos que

lim x → n π 2 - ⁡ tg ⁡ x = + ∞

Logo

lim θ → n π 4 - ⁡ tg ⁡ 2 θ = + ∞

Para o outro lateral

lim θ → n π 4 + ⁡ r = lim θ → n π 4 + ⁡ tg ⁡ 2 θ

E a tangente neste valor é negativa, então a função não assume valores reais

lim θ → n π 4 + ⁡ tg ⁡ 2 θ = ∄

Montando a tabelinha de r e θ , com os ângulos principais:

E esse padrão se repete.

Passo 3

Esboçando o gráfico no plano polar

Resposta

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Use um gráfico do integrando para conjecturar o valor da integral. Então, utilize os métodos desta seção para demonstrar que sua conjectura está correta. ∫ 0 2 sin ⁡ 2 π x cos ⁡ 5 π x d x
Use um gráfico do integrando para conjecturar o valor da integral. Então, utilize os métodos desta seção para demonstrar que sua conjectura está correta. ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ( x ) d x
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = sin 2 ⁡ ( x ) , y = cos 2 ⁡ ( x ) , - π / 4 ≤ x ≤ π / 4
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = sin 3 ⁡ ( x ) , y = cos 3 ⁡ ( x ) , π / 4 ≤ x ≤ 5 π / 4
Calcule ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x fazendo uma substituição e interpretando a integral resultante em termos de uma área.