Enunciado

Calcule ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x   fazendo uma substituição e interpretando a integral resultante em termos de uma ��rea.

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos que calcular a integral de x 1 - x 4 entre 0 e 1 aplicando o método de substituição.

Tem ideia de como fazemos isso? 😐

Diremos que u = x ² . Assim, sua derivada é d u = 2 x d x , e os limites da derivada permanecem inalterados porque 0 2 = 0 e 1 2 = 1 .

Com isso:

I = ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x = 1 2 ∫ 0 1 1 - u ² d u

Veja só! 😉

Passo 2

Essa integral pode ser interpretada como a área de um quarto de círculo de raio 1 , já que

x 2 + y 2 = 1 → y = 1 - x 2

E se y varia de 0 a 1 , então queremos apenas o primeiro quadrante da circunferência.

I = 1 2 ∫ 0 1 1 - u 2 d u = 1 2 π 1 2 4

I = 1 8 π

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

I = 1 8 π

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Use o teorema de Pappus para encontrar o volume de uma esfera com um raio de r unidades.
Prove a distância do centróide de um triângulo é igual a um terço da altura daquele lado.
Seja R a região limitada pelo semicrículo y = r 2 - x 2 e o eixo x. Use o teorema de Pappus para encontrar o momento de R em relação à reta y = - r .
Seja R a região limitada pelas curvas y = f 1 x e y = f 2 ( x ) . Se A for a medida da área de R e y - for a coordenada do centróide de R , prove que a medida do volume V do sólido de revolução obtido
Se o centróide da região limitada pela parábola y 2 = 4 p x e pela reta x = a estiver no ponto ( p , 0 ) , ache o valor de a .