Enunciado

Um pedaço de fio com 10   m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja: (a) máxima? (b) mínima?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! O enunciado nos diz que um pedaço de fio com 10   m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado e a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero.

Sabendo disso, ele pergunta como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja máxima e mínima.

Bem, pra resolver essa questão vamos precisar escrever uma expressão de área total, onde:

A = A Q + A T

Essa expressão deverá ser escrita em função das dimensões fio. Para achar os valores de máximo e mínimo a gente vai calcular A ' = ( 0 ) . Vamos colocar a mão na massa?!

Passo 2

A área total A pode ser escrita como:

A = l Q 2 + l T h 2

Vamos desenhar um esquema com as informações do enunciado:

O perímetro do quadrado é x , então cada lado deverá medir x 4 . Já o perímetro do triângulo equilátero deve ser 10 - x , então cada lado vai medir 10 - x 3 . Já a sua altura é dada por:

h = 3 2 l T

Então, substituindo l T :

h = 3 2 10 - x 3

Substituindo na fórmula da área:

A = x 4 2 + 10 - x 3 3 2 10 - x 3 2

A = x 2 16 + 10 - x 3 2 3 4    

Chegamos em:

A = x 2 16 + 3 36   10 - x 2  

Passo 3

O exercício quer a área total máxima e mínima dessas figuras, então vamos calcular A ' x = 0 :

A = x 2 16 + 3 36   10 - x 2  

A ' = x 8 + 3 36 × 2 10 - x - 1  

A ' = x 8 - 3 18 10 - x  

A ' x = x 8 - 10 3 18 + 3 x 18

Fazendo o mmc:

A ' x = 9 x 72 + 4 3 x 72 - 40 3 72

Calculando as raízes temos:

9 + 4 3 x - 40 3 = 0

x = 40 3 9 + 4 3

Passo 4

Como x pode variar entre zero e dez, substituímos x = 40 3 9 + 4 3 e os extremos do intervalo pra ver quais são os pontos máximos e mínimos:

A x = x 2 16 + 3 36   10 - x 2  

Substituindo:

A 0 = 100 3 36 = 25 3 9 ≅ 4,81

A 10 = 100 16 = 6,25

A 40 3 9 + 4 3 ≅ 2,72

Com isso podemos chegar a seguinte conclusão:

Item (a): área máxima encontrada acontece quando x = 10 , e vale 6,25 , ou seja, toda a corda é usada para o quadrado.

Item (b): área mínima encontrada acontece quando x =   40 3 9 + 4 3 , e vale 2,72 .

Resposta

Item (a): área máxima: 6,25 .

Item (b): área mínima: 2,72 .

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