Enunciado

Calcule a integral.

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.

Veja bem, como o intervalo de integração vai de 0 a (3 pi)/(2) , e a função dentro do módulo é a função seno.

Assim, o que temos que fazer é separar essa integral!!

Para isso, vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

int_a^c f (x) d x + int_c^b f (x) d x = int_a^b f (x) d x

Passo 3

Pronto, vamos usar!!

Para o intervalo de integração de 0 a pi temos que a função seno é positiva, então usamos |sen x| = sen x , já no intervalo de pi a (3 pi)/(2) a função seno é negativa, assim |sen x| = - sen x :

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = int_0^(pi) sen x d x + int_(pi)^((3 pi)/(2)) - sen x d x

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos lá!

Passo 4

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int sen x d x + int - sen x d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sen x d x = - cos x + C

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

int sen x d x = - cos x + C

int - sen x d x = - 1 int sen x d x = - 1 * (- cos x) = cos x + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida!!

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = int_0^(pi) sen x d x + int_(pi)^((3 pi)/(2)) - sen x d x

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = (- cos x)_0^(pi) + (cos x)_(pi)^((3 pi)/(2))

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = (- cos pi - (- cos 0)) + (cos (3 pi)/(2) - cos pi)

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = (1 - (- 1)) + (0 - (- 1))

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = 2 + 1

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = 3

Resposta

int_0^((3 pi)/(2)) |sen x| d x = 3

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