Enunciado

Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s). Ache o instante em que a aceleração instantânea é zero e nesse instante determine a distância orientada a partir da origem e a velocidade instantânea.

35 .   s = 1 3 t 3 - 3 2 t 2 + 2 t + 1   ,   t   ≥ 0

Passo 1

Nesse exercício precisamos ter em mente duas coisas:

  1. O que temos.
  2. O que queremos.
  3. O que sabemos?

O que temos?

Temos a equação da posição da partícula.

O que queremos?

Saber em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero e qual a velocidade instantânea e a distância orientada nesse mesmo instante.

O que sabemos?

Sabemos que:

d s d t = v                                                                                               d ² s d t ² = d v d t = a

Ou seja, a derivada da posição é a velocidade instantânea e a derivada da velocidade (ou derivada de segunda ordem da posição) é a aceleração instantânea.

E com essas informações podemos resolver todo o exercício. Então vamos começar:

Passo 2

1º - Derivada de s.

s ' = 3 ⋅ 1 3 t 2 - 2 ⋅ 3 2 t + 2

= t 2 - 3 t + 2

Nossa velocidade então é: v =   t 2 - 3 t + 2  

Passo 3

2º - Derivada de v.

v ' = 2 t - 3

Nossa aceleração então é: a =   2 t - 3

Passo 4

A primeira coisa que o enunciado nos pede é em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero.

Bom, como temos a equação da aceleração a única coisa que temos que fazer é substituir a por 0.

Ou seja: a = 0

                                a =   2 t - 3   ⇒   0 = 2 t - 3  

                                                                                              3 = 2 t

                                                                                              t = 3 2

Prontinho, achamos o instante t que é o primeiro item.

Passo 5

O próximo passo é descobrir qual a velocidade instantânea no instante t = 3 2 e para isso vamos apenas substituir t na equação de velocidade.

v =   t 2 - 3 t + 2

v =   3 2 2 - 3 3 2 + 2

        = 9 4 - 9 2 + 2 =   - 1 4

Passo 6

A última coisa que o enunciado nos pede é a distância orientada nesse mesmo instante.

Sendo s a distância orientada, usaremos a equação nos dada no enunciado e substituiremos o vamos de t.

s = 1 3 t 3 - 3 2 t 2 + 2 t + 1

    = 1 3 3 2 3 -   3 2 3 2 2 + 2 3 2 + 1

      = 27 24 - 27 8 + 3 + 1 = 7 4

Prontinho, achamos tudo o que queríamos!

Resposta

t = 3 2

v = - 1 4

s   = 7 4

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