Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.7 - Ex. 35
Um pedaço de fio com de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja:
(a) máxima? (b) mínima?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... temos um pedaço de fio com de comprimento que é cortado em duas partes.
Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero.
A questão quer saber como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima e mínima.
Para isso, devemos relacionar a área dessas figuras com a maximização e a minimização que, por sua vez, são dadas através da derivada!!
Vamos devagarinho que garanto que você vai entender 😉
Passo 2
A primeira coisa é esboçar as informações dadas num desenho:
Cada lado do quadrado vale porque o tamanho de fio é dividido pelos quatro lados, e o triângulo usa a mesma lógica.
A altura do triângulo possui esse valor por conta da propriedade geométrica que nos diz que .
Onde é o lado do triângulo.
Passo 3
O exercício quer a ��rea total máxima e mínima dessas figuras, então:
O limite imposto de entre zero é dez é por conta do tamanho do fio.
Passo 4
Como está dependendo de apenas uma variável, já é possível derivar e igualar a zero para encontrar seus valores extremos:
Logo:
Passo 5
Como pode variar entre zero e dez, substituímos esses dois valores além do encontrada para encontrar seus valores extremos e achar os pontos máximos e mínimos:
Do mesmo modo:
Ou seja, a área máxima encontrada acontece quando , e vale , ou seja, toda a corda é usada para o quadrado.
E, portanto:
Ou seja, a área mínima encontrada acontece quando , e vale .
Resposta
Item (a): área máxima em , .
Item (b): área mínima em : .