Enunciado

Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V   c m ³ de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Passo 1

Esboçando o desenho:

Passo 2

O exercício deseja a superfície máxima do cilindro sem o topo, então temos a seguinte fórmula:

S = π r 2 + 2 π r h

Dentro dessa lata precisamos conseguir colocar um volume V , que tem por fórmula:

V = π r 2 h

Com a fórmula do volume conseguimos isolar uma das variáveis para facilitar a nossa resolução e a vida:

h = V π r 2

Substituindo h na fórmula da superfície do cilindro sem topo S :

S = π r 2 + 2 π r V π r 2

S = π r 2 + 2 V r

Passo 3

Minimizando S :

S ' r = 2 π r - 2 V r 2 = 0

2 π r = 2 V r 2

π r 3 = V

r = V π 3 c m

Substituindo r em h :

h = V π r 2

h = V π V π 2 3

V = V π 3 c m

Resposta

Dimensões:

  • Raio: V π 3 c m
  • Volume: V π 3 c m
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