Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = sen 2 ⁡ ( 1000 x )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pede para determinar uma janela retangular apropriada para a função dada e usá-la para fazer o gráfico da função:

f x = sen 2 ⁡ ( 1000 x )

Mas que janela é essa??

Então... quando a gente olha um gráfico, a gente quer tirar todas as informações que estão contidas nele. E, para isso, o gráfico não pode estar nem grande demais para o plano cartesiano e nem pequeno demais.

O tamanho ideal é aquele que contém o máximo de informações possíveis que podemos extrair do gráfico.

Para isso, precisamos calcular pontos chaves que nos dirão o tamanho correto da janela, isto é, descobrir pontos que nos forneçam informações suficientes sobre a função.

Nós sabemos que as funções trigonométricas têm um domínio definido para todo conjunto dos números reais. E que a função seno tem a imagem definida no intervalo:

[ - 1 ,   1 ]

Lembrando que a imagem são todos os valores de f ( x ) que a função pode assumir. Como a nossa função tá elevada ao quadrado, esse intervalo muda um pouco.

Além disso, uma outra informação importante para uma função trigonométrica é seu período, que é dado nesse caso por:

2 π a

considerando uma função f x = sin ⁡ ( a x ) . Na nossa função, temos a = 1000 , certo?

Esse período nos diz a frequência de oscilações da função no gráfico. Então, quanto menor o período, maior será a frequência de oscilações e consequentemente o gráfico seria mais comprimido no eixo x .

Essa informações já serão suficientes pra gente definir uma janela de visualização para o nosso gráfico.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Nós vimos no passo anterior, que a imagem da função seno está sempre definida no intervalo de [ - 1 ,   1 ] . Como nesse caso, nossa função está elevada ao quadrado, elevamos esse intervalo ao quadrado e teremos a imagem:

[ 0 ,   1 ]

Além disso, nós vimos que para uma função f x = sin ⁡ ( a x ) , seu período é dado por 2 π a . Como a nossa função, f x = sin 2 ⁡ ( 1000 x ) , tem

a = 1000

Seu período será:

2 π 1000 = π 500

Que é aproximadamente 0,0063 .

Como esse é um número bem pequeno, significa que nossa frequência de oscilações será bem alta em comparação com a função seno padrão ( sin ⁡ ( x ) ). Então, teremos um gráfico comprimido no eixo x , pois haverá muitos ciclos de oscilação ocorrendo em um curto intervalo de x .

Passo 3

Dessa forma, considerando que a nossa curva vai de 0 até 1 no eixo vertical e oscila em um intervalo tão pequeno, podemos considerar a janela:

- 0.01 ,   0.01 × [ 0 ,   1.1 ]

Onde x varia no intervalo - 0 . 01 ,   0 . 01 e y no intervalo [ 0 ,   1.1 ] e plotamos a curva f x = sin ⁡ ( 1000 x ) :

Assim, conseguimos visualizar e entender bem o comportamento periódico da função nesse intervalo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 0.01 ,   0.01 × [ 0 ,   1.1 ]

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