Enunciado

Um gerador de corrente contínua tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna r ohms, onde E   e   r são constantes. Se R ohms for a resistência externa, a resistência total será de ( r + R ) ohms e se P watts for a potencia, então P = E 2 R ( r + R ) ² . Mostre que a maior potência será consumida quando as resistências interna e externa forem iguais.

Passo 1

Queremos demonstrar que P vai ser máxima quando r = R . Vamos derivar P   em relação a R.

d P d R = 0 = E 2 r + R 2 - 2 E 2 R r + R r + R 4 E 2 r 2 + 2 r R + R 2 - 2 E 2 r R - 2 E 2 R 2 r + R 4 = 0 [ E 2 r 2 + 2 E 2 r R + E 2 R 2 - 2 E 2 r R - 2 E 2 R 2 ] r + R 4 = 0   E 2 r 2 - E 2 R 2 ( r + R ) 4 = 0  

Passo 2

Para a expressão ser igual a zero, o numerador tem que ser igual a zero. Logo:

E 2 r 2 - E 2 R 2 = 0 E 2 r 2 - R 2 = 0 r 2 - R 2 = 0 r 2 = R 2 r = R 2 r = ± R

A resistência não pode assumir negativos. Logo, a potência do gerador vai ser máxima quando r = R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O cocho visto na figura a seguir será construído com as dimensões indicadas. Apenas o ângulo θ pode variar. Que valos de θ maximiza o volume do cocho?
quais valores de a e b fazem f x = x 3 + a x 2 + b x ter: a ) um máximo local em x = - 1 e um mínimo local em x = 3 ? b ) um mínimo local em x = 4 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?
Compare as respostas dos seguintes problemas de construção a ) uma folha retangular com perímetro 36c m e dimensões x × yc m será enrolada para formar um cilindro, como mostra a parte a da figura. Que
Um triângulo retângulo de hipotenusa 3m gira em torno de um dos seus catetos gerando um cone circular reto. Determine o raio, a altura e o volume do cone de mairo volume que pode ser gerado dessa mane
Determine um número positivo para o qual a soma dele e seu recíprovo é o menor possível.