Enunciado

Uma mola de 4 cm de comprimento passa a medir 8 cm após um peso de 0,5 kg ser atado a ela. O meio no qual o peso se move oferece uma resistência numericamente igual a 2 vezes a velocidade instantânea. Encontre a equação do movimento se o peso for solto na posição de equilíbrio com uma velocidade de 5   c m / s   para baixo. Encontre o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição do peso nesse instante?

Passo 1

Falaa meu jovem, vamos lá?

O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 0,5   k g = 1 2 k g , e como “O meio no qual o peso se move oferece uma resistência numericamente igual a 2 vezes a velocidade instantânea”, temos β = 2 .

Para encontrarmos o valor de k , vamos fazer:

m . g = k . x

0,5.9,8 = k . ( 8 - 4 )

k = 1,22 5   N / m

Então:

1 2 d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 1,225 x = 0

O enunciado também fala que “o peso é solto na posição de equilíbrio com uma velocidade de 5   c m / s   para baixo”

Então temos:

x 0 = 0

x ' 0 = 5

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

Temos:

1 2 d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 1,225 x = 0

x 0 = 0

x ' 0 = 5

Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:

x t = c 1 . e - 1.41421 t . s e n 0.67082 t + c 2 . e - 1.41421 t . c o s 0.67082 t

Aplicando as condições iniciais, temos

x ( t ) = 7,45356 . e - 1.41421 t . s e n 0.67082 t

Passo 3

Agora vamos calcular o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo, bora:

Primeiro temos que achar a derivada de x :

x ' t = 3.45356 . e - 1.41421 t - 1.41421 . s e n 0,67082 . t + 0,67082 . c o s 0,67082 . t

Agora vamos encontrar o ponto extremo igualando isso a 0:

3.45356 . e - 1.41421 t - 1.41421 . s e n 0,67082 . t + 0,67082 . c o s 0,67082 . t = 0

- 1.41421 . s e n 0,67082 . t + 0,67082 . c o s 0,67082 . t = 0

0,67082 . c o s 0,67082 . t = 1.41421 . s e n 0,67082 . t

t ≈ 0,659   s

Agora vamos substituir esse ponto de extremo na nossa função x ( t ) , que aí a gente vai ter a posição do peso nesse momento de extremo:

x ( 0,659 ) = 7,45356 . e - 1.41421 . 0,659 . s e n 0.67082 . 0,659

x ≈ 1,25

Ufa, acabamossss

Esse exercício ficou mais bizarrinho do que a gente esperava por causa das conversões galera

Teoricamente, a resolução desse livro usaria g = 32 lá no passo 1, mas como a gente é brasileiro, usamos 9,8 beleza? Uahsuahsuahs por isso ficou tudo meio bugadinho

Resposta

t = 0,659   s

x = 1,25

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