Enunciado

Um peso de 625 g distende uma mola em 0,5 m . O peso é solto a partir do repouso 0,5 m abaixo da posição de equilíbrio.

a) Encontre a posição do peso nos instantes t = π 12 , π 8 , π 6 , π 4 , 9 π 32 s .

b) Qual é a velocidade do peso quando t = 3 π 16 ? Qual a direção da velocidade nesse instante, ou seja, o peso está descendo ou subindo?

c) Quando o peso passa pela posição de equilíbrio?

Passo 1

a) Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

De acordo com o enunciado temos que:

m = 5 8 k g

E:

k = 40 N m

Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

5 8 x ' ' + 40 x = 0

x ' ' + 64 x = 0

Resolvendo essa equação:

x 2 + 64 = 0

Logo:

x 1 = 8 i

x 2 = - 8 i

Então nossa solução será:

x t = c 1 cos ⁡ 8 t + c 2 s e n   8 t

Show!

Passo 2

O enunciado nos dá as seguintes condições iniciais também, galera:

x 0 = 0,5

x ' 0 = 0

Aplicando a primeira condição, teremos:

0,5 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = 0,5

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - 8 c 1 s e n   8 t + 8 c 2 cos ⁡ 8 t

0 = - 8 c 1 s e n   0 + 8 c 2 cos ⁡ 0

c 2 = 0

Então nossa solução geral para as condições iniciais dadas será:

x t = 0,5 cos ⁡ 8 t

Passo 3

Agora que encontramos a equação de movimento da mola podemos calcular as posições para os tempos solicitados, não é mesmo? Então bora lá!

Para t = π 12 :

x π 12 = 0,5 . cos ⁡ 8 . π 12 = - 1 4

Para t = π 8 :

x π 8 = 0,5 . cos ⁡ 8 . π 8 = - 1 2

Para t = π 6 :

x π 6 = 0,5 . cos ⁡ 8 . π 6 = - 1 4

Para t = π 4 :

x π 4 = 0,5 . cos ⁡ 8 . π 4 = 1 2

E, por fim, para t = 9 π 32 :

x 9 π 32 = 0,5 . cos ⁡ 8 . 9 π 32 = 2 4

E estão aí nossas posições!

Passo 4

b) A velocidade do peso em t = 3 π 16 será a seguinte:

x ' t = - 4 . s e n   8 t

x ' 3 π 16 = - 4 . s e n   8 . 3 π 16

x ' 3 π 16 = 4 m s

Nesse instante de tempo o peso está descendo!

Passo 5

c) A posição de equilíbrio ocorre quando x = 0 , certo? Então se igualarmos nossa equação de movimento a zero, teremos:

x t = 0,5 cos ⁡ 8 t = 0

E então tiramos que:

t = 2 n + 1 π 16

No qual n é um número inteiro positivo, ou seja, n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Resposta

a) x π 12 = - 1 4 ,   x π 8 = - 1 2 ,   x π 6 = - 1 4 ,   x π 4 = 1 2   e   x 9 π 32 = 2 4

b) x ' 3 π 16 = 4 m s e o peso está DESCENDO.

c) t = 2 n + 1 π 16 ,   n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

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