Enunciado

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

( 1 - x ) y ' - y = 0

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

1 - x y ' - y = 0

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

1 - x y ' - y = 0

Que é uma EDO separável:

d y y = d x 1 - x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 1 - x d x

ln ⁡ y = - l n ⁡ | 1 - x | + c

y = c 1 1 - x

E encontramos nossa solução :P

Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

1 - x y ' - y = ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 - ∑ n = 1 ∞ n c n . x n - ∑ n = 0 ∞ c n . x n

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 1 e nos outros vamos deixar k = n

1 - x y ' - y = ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) . c k + 1 . x k - ∑ k = 1 ∞ k c k . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Isso é:

1 - x y ' - y = c 1 - c 0 + ∑ k = 1 ∞ [ ( k + 1 ) . c k + 1 - ( k + 1 ) c k ] . x k = 0

Então temos

c 1 - c 0 = 0 → c 1 = c 0

k + 1 . c k + 1 - k + 1 c k = 0 → c k + 1 = c k ,   k = 1,2 , 3 …

Dessa forma, encontramos

c 0 = c 1 = c 2 = c 3

Então, nossa solução é

y = c 0 + c 0 x + c 0 x 2 + c 0 x 3 + …

Que pode ser escrito assim:

y = c 0 ∑ n = 0 ∞ x n

Que é justamente:

y = c 0 1 - x

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = c 0 1 - x

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