Enunciado

Um peso está ligado a uma mola e atinge a sua posição de equilíbrio ( x = 0 ) . Em seguida, ele é posto em movimento, o que resulta em um deslocamento de

x = 10 cos ⁡ t

Em que x é medido em centímetros e t é medido em segundos. Veja a figura a seguir.

  1. Determine o deslocamento da mola quando t = 0 , t = π / 3 e t = 3 π / 4 .
  2. Determine a velocidade da mola quando t = 0 , t = π / 3 e t = 3 π / 4 .

Passo 1

Para determinarmos a posição da mola em cada tempo, precisamos substituir o valor de t na equação de posição da mola. Como a equação da posição já nos foi dada, podemos fazer uma substituição direta para obter as posições.

Já para calcular a velocidade, temos que descobrir a sua função anteriormente. Para isto, basta lembrar da física que, dada a função de posição x ( t ) , a velocidade pode ser obtida por:

v t = x ˙ t = d d t x ( t )

Portanto, basta derivarmos a função posição. Após obtermos a função velocidade, basta substituirmos os valores de t nela para obter a velocidade em cada tempo dado.

Passo 2

Precisamos determinar a função velocidade. Para isto, vamos derivar a função posição. Logo, temos:

v t = d d t 10 cos ⁡ t = - 10 ⋅ s e n   t

Passo 3

Vamos calcular as posições para cada tempo separadamente. Para t = 0 , temos:

v 0 = - 10 ⋅ s e n   0 = 0   c m / s

Passo 4

Para t = π / 3 , temos:

v π 3 = - 10 ⋅ s e n π 3 = - 10 ⋅ 3 2   c m / s

v π 3 = - 5 3   c m / s

Passo 5

Para t = 3 π / 4 , temos:

v 3 π 4 = - 10 ⋅ s e n 3 π 4 = 10 ⋅ - 2 2   c m / s

v 3 π 4 = - 5 2   c m / s

Resposta

Para t = 0 , v 0 = 0   c m / s .

Para t = π / 3   , v π / 3   = - 5 3   c m / s .

Para t = 3 π / 4   , v 3 π / 4 = - 5 2   c m / s .

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