Enunciado

Um peso é suspenso por uma mola e vibra verticalmente, de acordo com a equação y = 2   s e n   4 π t + 1 8 , onde y cm é a distância orientada do peso a partir de sua posição central t s após começar o movimento e a direção positiva é para cima.

(a) Resolva a equação em t .

(b) Use a equação da parte (a) para determinar os três menores valores de t para os quais o peso está a 1 cm acima de posição central.

Passo 1

A questão fornece a equação que dá a posição do peso em função do tempo

y = 2   s e n   4 π t + 1 8 ,

e pede para isolarmos t como função de y e, além disso, para determinarmos os três primeiros instantes de tempo tais que y = 1 .

Passo 2

No item (a) só precisamos inverter a função e isolar t :

s e n   4 π t + 1 8 = y 2 ⇒ 4 π t + 1 8 = a r c s e n y 2

Portanto,

t + 1 8 = 1 4 π   a r c s e n y 2

Logo,

t = - 1 8 + 1 4 π a r c s e n y 2

Passo 3

Para o item (b), basta achar os valores tais que y = 1 . Neste caso, temos que

a r c s e n y 2 = a r c s e n 1 2

Os primeiros arcos cujo seno é 1 / 2 são

π 3 , 2 π 3 , 7 π 3 , 8 π 3 , 13 π 3 ,   …

Para o primeiro arco, temos que

t = - 1 8 + 1 4 π ⋅ π 3 = 1 12 - 1 8 = - 1 24

Como esse valor é negativo, não devemos considerá-lo (o tempo sempre deve ser positivo). Para o segundo arco:

t = - 1 8 + 1 4 π ⋅ 2 π 3 = 1 6 - 1 8 = 1 24

Para o terceiro arco,

t = - 1 8 + 1 4 π ⋅ 7 π 3 = 7 12 - 1 8 = 11 24

Já para o quarto arco, temos que

t = - 1 8 + 1 4 π ⋅ 8 π 3 = 2 3 - 1 8 = 13 24

Assim, os três valores de t pedidos são 1 / 24 s, 11 / 24 s e 13 / 24 s.

Resposta

  1. t = - 1 8 + 1 4 π a r c s e n y 2
  2. 1 24 , 11 24   e   13 24
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