Enunciado

A pilha do exercício 1 4 é substituída por um gerador produzindo voltagem de E t = 12   s e n ( 10 t ) . Determine a carga no instante t .

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão, vamos relembrar a solução da equação diferencial homogênea associada:

Q h t = e - 6 t c 1 cos ⁡ 8 t + c 2 s e n 8 t

Como a equação diferencial homogênea associada não foi modificada, então podemos supor a mesma solução.

Passo 2

O que mudou foi a parte particular. Bom, como a voltagem E ( t ) é do tipo seno, é razoável supor uma solução particular também periódica:

Q p t = A s e n 10 t + B c o s ( 10 t )

Tá, e agora, o que fazer? Jogar na equação diferencial! Sempre! Para determinar os coeficientes, devemos supor uma solução compatível, derivar uma (às vezes duas) e substituir tudo na equação diferencial!

A equação diferencial do exercício é:

2 d 2 Q d t 2 + 24 d Q d t + 2 00 Q = 12 s e n ( 10 t )

No próximo passo vamos calcular as derivadas e substituir na equação para determinar os coeficientes.

Passo 3

A função é:

Q p t = A c o s 10 t + B s e n ( 10 t )

A primeira derivada:

Q ' t = - 10 A s e n 10 t + 10 B c o s ( 10 t )

E a segunda:

Q ' ' t = - 100 A c o s 10 t - 100 B s e n ( 10 t )

E substituindo na equação:

- 2 00 A + 24 0 B + 2 00 A cos ⁡ 10 t + - 2 00 B - 24 0 A + 2 00 B s e n 10 t = 12 s e n ( 10 t )

Igualando os termos temos duas equações:

24 0 B = 0 24 0 A = 12

Da primeira equação temos:

B = 0

E da segunda equação determinamos o valor de A :

A = 12 240 = 1 20

Assim a solução particular é:

Q p t = 1 2 0 c o s 10 t

Passo 4

A solução geral é a combinação linear da solução homogênea com a particular. Então a solução vai ser:

Q t = e - 6 t c 1 cos ⁡ 8 t + c 2 s e n 8 t + 1 2 0 c o s 10 t

Agora só falta determinar as constantes c 1 e c 2 . E elas nós determinamos através das condições iniciais.

No instante inicial a carga é 0,001 C , sendo assim Q 0 = 0 , 001 :

0 , 001 = 1 . c 1 . 1 + c 2 . 0 + 1 2 0 . 1

c 1 + 0,05 = 0 , 001 ∴ c 1 = - 0,049

Sabemos também que a corrente no instante inicial é zero, então Q ' 0 = 0 , usando a regra do produto:

Q ' t = 1 2 cos ⁡ 10 t + e - 6 t   ( - 6 c 1 + 8 c 2 cos ⁡ 20 t + - 6 c 2 - 8 c 1 s e n 20 t ]

E no instante inicial:

Q ' 0 = 1 2 - 6 c 1 + 8 c 2 = 0

c 2 = 6 8 c 1 - 1 2.8 = 6 8   . - 0,049 - 1 16 = - 0,099

c 2 = - 0,099

Passo 5

Agora juntando as soluções com os coeficientes temos finalmente a solução geral:

Q t = e - 10 t - 0,049 cos ⁡ 20 t - 0,099 s e n 20 t - 1 2 0 c o s 10 t

Resposta

Q t = e - 10 t - 0,049 cos ⁡ 20 t - 0,099 s e n 20 t - 1 20 c o s 10 t

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Neste problema vamos determinar condições sobre p e q de modo que a Eq. (i) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança de variável independente. Seja x=u(
Tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 43. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada.
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