Enunciado

Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.

f x , y = 4 + x 3 + y 3 - 3 x y

Passo 1

Show de bola, galera....Ao observarmos aquelas curvas de nível ali em cima, percebemos que o ponto 1,1 é um forte candidato a mínimo local, uma vez que parece haver um vale ao redor delem já que a função cresce em valor quando nos afastamos desse ponto por todas as direções.

Já o ponto 0,0 é um possível candidato a ponto de sela, uma vez que a função cresce em valor quando nos afastamos desse ponto por uma direção, mas decresce quando nos afastamos por outra.

Resta-nos agora calcular essas coisas todas aí pra ver se a gente acertou nesses palpites.

Passo 2

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! No Passo 3 calcularemos os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . No Passo 4 usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 3

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   3 x 2 - 3 y = 0 3 y 2 - 3 x = 0   ∴   x 2 = y y 2 = x ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s 0 , 0 , 1,1

Passo 4

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = 6 x - 3 - 3 6 y e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = 0 , 0 :

D = 6 x - 3 - 3 6 y 0 , 0 = 0 - 3 - 3 0 = - 9 < 0

Como D < 0 , concluímos que x c , y c = ( 0 , 0 )  é um ponto de  sela .

– Para x c , y c = 1 , 1 :

D = 6 x - 3 - 3 6 y 1 , 1 = 6 - 3 - 3 6 = 27 > 0

f x x 1 , 1 = 6 > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = ( 1,1 )  é um ponto de mínimo local .

Resposta

( 0,0 )  é um ponto de sela ( 1,1 )  é um ponto de mínimo local

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Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiqu
Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = sen ⁡ x
Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiqu
Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = x 2 + y