Enunciado

Uma placa de aço plana tem a forma de um círculo de raio a , como mostra a Figura 4.19. A temperatura em um ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da chapa, com uma constante de proporcionalidade k > 0 .

a) Se uma partícula localizada no ponto a 2 ,   0 se deslocar para a direita sobre o eixo dos x, sofrerá aumento ou diminuição de temperatura?

b) Qual a taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) ?

Passo 1

Letra a)

Sabemos que:

d = x 2 + y 2

Aplicando a constante k, temos:

T x , y = k x 2 + y 2

Como a partícula se deslocará sobre o eixo dos x, devemos analizar a derivada parcial em relação a x:

∂ T d x = k x x 2 + y 2

Aplicando no ponto a 2 ,   0 , temos:

k x x 2 + y 2 = k ⋅ a 2 a 2 2 + 0 = k ⋅ a 2 a 2 = k

Como k > 0 , a partícula sofrerá aumento de temperatura.

Passo 2

Letra b)

Para descobrirmos a taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) , primeiramente devemos analizar a derivada parcial em relação a y:

∂ T d y = k y x 2 + y 2

Aplicando no ponto a 2 ,   0 , temos:

k y x 2 + y 2 = k ⋅ 0 a 2 2 + 0 = 0 a 2 = 0

A taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) , é de 0.

Resposta

a) Aumento;

b) 0.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cálculo do erro máximo Suponha que u = xey + y sen z eque x, y e z possam ser medidos com erros máximos possíveisde ±0,2, ±0,6 e ±p/180, respectivamente. Estime o erro máximo possível no cálculo de u
Variação ao longo da involuta de uma circunferência Encontre a derivada de ƒ(x, y) = x2 + y2 na direção do vetortangente unitário da curvar(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t – t cos t) j, t0
Valor de um determinante 2 × 2 Se | a | é muito maior que | b | , | c | e | d | , para qual dentre a , b , c e d o valor do determinante f ( a , b , c , d ) = a b c d é mais suscetivel? Justifique sua
Projetando uma lata de refrigerante Uma lata de refrigerante padrão de 12 fl-oz é essencialmente um cilindro de raior = 1 pol. e altura h = 5 pol.a. Com essas dimensões, quão suscetível é o volume da
Fórmula do tamanho do lote de Wilson A fórmula do tamanho do lote de Wilson na economia afirma que a quantidade mais econômica Q de bens (rádio, sapatos, vassouras, o quequer que seja) para uma loja p