Enunciado

Uma placa tem a forma da região limitada por uma elipse com semi-eixo maior de 3 cm e com semi-eixo menor de 2 cm. Se a placa for mergulhada verticalmente em um tanque com água até que o eixo menor esteja na superfície da água, ache a força devido à pressão da água sobre um lado da parte da placa submersa.

Passo 1

Pela Definição 6.7.1 essa força é descrita como

F = ∫ a b ρ g x f x d x

Tomemos ρ g = 9810   N/ m 3

Pelos dados do enunciado vamos descrever a elipse como

x 2 3 2 + y 2 2 2 = 1

Agora isolando y y = 2 1 - x 2 9

y = 2 1 9 9 - x 2

y = 2 3 9 - x 2

Como somente metade da placa foi submersa então x varia de 0 a 3

Passo 2

Em vista dos dados apresentados anteriormente vamos montar a integral e resolve-la

F = ∫ 0 3 ρ g x 2 3 9 - x 2 d x

Aplicando substituição temos u = 9 - x 2   ⇒ d u =   - 2 x d x e mudando os limites de integração u 0 = 9   e   u 3 = 0 a integral fica

F = ∫ 9 0 ρ g - 1 3 u d u

F = ∫ 0 9 ρ g 1 3 u d u

F = ρ g 1 3   ∙ 2 3 u 3 2 0 9

F = ρ g 1 3   ∙ 2 3 9 3 2 - 1 3   ∙ 2 3 0 3 2

F = ρ g 1 3   ∙ 2 3 3 2 3 2

F = ρ g ∙ 6   c m 3

F = 9810   N/ m 3 ∙ 6 ∙ 10 - 6   m 3

F = 0,05886   N

Resposta

F = 0,05886   N

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