Enunciado

Uma placa tem a forma da região limitada pela parábola x 2 = 6 y e pela reta 2 y = 3 e é colocada num tanque com água tendo o seu vértice voltado para baixo e a reta na superfície da água. Ache a força decorrente da pressão de água sobre um lado da paca se a distância for medida em metros.

Passo 1

A questão pede para calcularmos a força devido a pressão de água em uma placa que tem a forma da região limitada pela curva x 2 = 6 y e pela reta y = 3 / 2 :

Considerando uma faixa muito fina com espessura Δ y na posição y = y i , temos que a força exercida sobre essa faixa será

Δ F i = p y i   Δ A i ,

onde p ( y i ) é a pressão de água nessa altura e Δ A i é a área da faixa.

Sabemos que a pressão é igual a

p = ρ g ⋅ p r o f u n d i d a d e

Neste caso, temos que a profundidade de água é 3 2 - y i , de modo que

p y i = ρ g 3 2 - y i

Já a área será

Δ A i = c o m p r i m e n t o ⋅ Δ y

O comprimento é dado por 2 x i , onde x i 2 = 6 y i ⇒ x i = 6 y i . Assim,

Δ A i = 2 6   y i   Δ y

Portanto,

Δ F i = 2 6   ρ g   3 2 - y i y i   Δ y

Desta forma, a força resultante será a soma de todos o Δ F i :

F ≈ ∑ i Δ F i = 2 6   ρ g   ∑ i 3 2 - y i   y i   Δ y

Tomando o limite com Δ y → 0 , temos que a soma vira uma integral:

F = 2 6   ρ g ∫ 0 3 / 2 3 2 - y y   d y

Passo 2

Calculando a integral:

F 2 6   ρ g = ∫ 0 3 2 3 2 y 1 2 - y 3 2   d y

Assim,

F 2 6   ρ g = 2 3 ⋅ 3 2 y 3 2 - 2 5 y 5 2 0 3 / 2

Logo,

F 2 6   ρ g = 3 2 3 2 - 2 5 3 2 5 2

Assim, a força sobre a placa é

F = 2 6   ρ g   3 2 3 2 - 2 5 3 2 5 2 = 2 6   ρ g   3 2 3 2 1 - 2 5 ⋅ 3 2

Portanto,

F = 2 6   ρ g 3 2 ⋅ 3 2 1 - 3 5

Desta forma,

F = 9 ρ g ⋅ 2 5 = 18 ρ g 5

Passo 3

Usando ρ = 1000   k g / m 3 e g = 9,8   m / s 2 , temos que

F = 35280   N

Resposta

35280   N

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