Enunciado

Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada nas figuras a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a.

Passo 1

A gente vai pegar essa figura bonitinha e fazer umas configurações doidas, saca só:

Pela metade de cima, o comprimento dessa faixa é 2 a 2 - y i * , e sua área é 2 a 2 - y i * ∆ y .

A pressão nessa faixa é aproximadamente δ d i = δ a 2 - y i * , então a força na faixa é aproximadamente 2 δ a 2 - y i * 2 ∆ y .

Passo 2

A força total é

F 1 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 δ a 2 - y i * 2 ∆ y = 2 δ ∫ 0 a 2 a 2 - y 2 d y = 2 δ - 1 3 a 2 - y 3 0 a 2 =

- 2 3 δ 0 - a 2 3 = 2 δ 3 a 3 2 2 = 2 a 3 δ 6

Passo 3

Pela metade inferior, o comprimento é 2 a 2 + y i * e a força total é

F 2 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 δ a 2 - y i * a 2 + y i * ∆ y = 2 δ ∫ - a 2 0 a 2 2 - y 2 d y =

2 δ 1 2 a 2 y - 1 3 y 3 - a 2 0 = 2 δ 0 - - 2 a 3 4 + 2 a 3 12 = 2 δ 2 a 3 6 = 2 2 a 3 δ 6

Passo 4

Vemos que F 2 = 2 F 1 , assim, a força total é

F = F 1 + F 2 = 3 2 a 3 δ 6 = 2 a 3 δ 2

Resposta

2 a 3 δ 2 .

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