Enunciado

Suponha que uma placa esteja imersa verticalmente em um fluido com densidade ρ e que a largura da placa seja w ( x )   a uma profundidade de x metros abaixo do nível da superfície do fluido. Se o topo da placa está a uma profundidade a e o fundo, a uma profundidade b , mostre que a força hidrostática sobre um lado da placa é

F = ∫ a b ρ g x w ( x ) d x

Passo 1

Particionando o intervalo [ a , b ] por pontos x i como normalmente, x i * ∈ x i - 1 , x i para cada i . A i - é s i m a faixa horizontal para a placa imersa é aproximada por uma retângulo de altura ∆ x i e largura w ( x i * ) , então sua área é A i ≈ w x i * ∆ x i .

Passo 2

Para pequenos valores de ∆ x i ,   a pressão P i na i - é s i m a faixa é quase constante e P i ≈ ρ g x i * pela Equação 1. A força hidrostática F i agindo na i - é s i m a faixa é F i = P i A i ≈ ρ g x i * w ( x i * ) ∆ x i . Acrescendo essas forças e fazendo o limite com n → ∞ , nós obtemos a seguinte força hidrostática:

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n F i = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ρ g x i * w ( x i * ) ∆ x i = ∫ a b ρ g x w ( x ) d x

Resposta

∫ a b ρ g x w ( x ) d x .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

25.Uma chapa tem a forma da região delimitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 . Se esta chapa é imersa verticalmente na água, de tal forma que seu lado superior coincide com o nível d´água, determinar a
Nos exercícios 27 a 30 , temos uma comporta de uma represa, colocada verticalmente, com a forma indicada.Calcular a força total contra a comporta29.Um triângulo isósceles com 1 6m de largura no topo e
24. Um tanque tem forma de um prisma quadrangular de altura 1m . Se o tanque está cheio de água e o seu lado da base mede 3m , determine a força decorrente da pressão da água sobre um lado do tanque.
26.Uma chapa retangular de 1m de altura e 2m de largura é imersa verticalmente num líquido, sendo que a base inferior está a 3m da superfície do líquido. Determinar a força total exercida sobre um lad
23.Uma comporta vertical de uma represa tem a forma de um retângulo de base 4m e altura de 2m . O lado superior da comporta está a 0,5m abaixo da superfície da água. Calcular a força total que a compo