Enunciado

Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a

Passo 1

Podemos ilustrar a situação da seguinte forma

Então, sabemos que a pressão varia em função da altura onde um ponto está dentro do recipiente, ou seja, pontos há mesma altura, possuem a mesma força sendo exercida sobre a parede, então precisamos escrever a força como uma soma de Riemann (note que a F = ∂ A d ). A base do triângulo mostrado na figura é dada por 9 - x 2 , então, w i = 2 9 - x 2 e podemos escrever a área como

A = 2 9 - x i * 2     ∆ x

Então, a força

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ∂ x i * - 1 ⋅ 2 9 - x i * 2     ∆ x

Temos que ∂ = ρ g = 9800   N

Então, podemos escrever como uma integral

F = ∫ 1 3 2 ∂ ( x - 1 ) 9 - x 2   d x = 2 ∂ ∫ 1 3 x 9 - x 2   d x - ∫ 1 3 9 - x 2   d x

Usando uma tabela de integrais, obtemos o seguinte resultado

F = 2 ∂ - 1 3 9 - x 2 3 2 - x 2 9 - x 2 + 9 2 sin - 1 ⁡ x 3 1 3 = 2 ∂ 0 + 0 + 9 π 4 + 1 3 8 8 - 1 2   8 - 9 2 sin - 1 ⁡ 1 3 = ∂ 38 3 2 - 9 π 2 + 9 sin - 1 ⁡ 1 3 ≈ 6,835 ⋅ 9800 ≈ 67   k N

Resposta

F ≈ 67   k N

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