Enunciado

Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada nas figuras a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a.

Passo 1

Vamos com muita calma aqui, antes de começar vamos desenhar novamente este trapézio, onde a é a largura do triângulo menor formado e x i * representa o nível da água até a faixa horizontal que é aproximada por um retângulo com altura ∆ x e largura w i

O desenho não está com a dimensão muito boa, mas não se preocupem com isso.

Temos dois triângulos sendo formados de cada lado do trapézio. Se usarmos a semelhança de triângulos obtemos:

1 m   l a r g u r a 2 m   a l t u r a = a   m   l a r g u r a   ( 1 - x i * )   m   a l t u r a

Sendo assim:

a = 1 - x i * 2 = 1 2 - x i * 2

Achamos o a e vamos deixar ele quietinho ai!

Passo 2

Agora vamos achar a largura w i . Nós dividimos o retângulo em dois na figura, certo?

O retângulo em questão terá o comprimento 1+a, isso em cada um dos lados do eixo. Então:

w i = 2 ( 1 + a )

Já sabemos o a:

w i = 2 1 + 1 2 - x i * 2 = 2 + 1 - x i *

w i = 3 - x i *

Se chamarmos A i de área da faixa representada:

A i = w i . ∆ x

Substituindo a largura:

A i = ( 3 - x i * ) . ∆ x

Mas não é isso que queremos, nós queremos a força hidrostática agindo nesta i-nésima faixa que desenhamos:

F i = A i P i

Sabendo que:

P i ≅ 1000 g x i *

Então:

F i ≅ 1000 g x i * ( 3 - x i * ) . ∆ x

Somando essas forças e tomando o limite quando n → ∞ , obtemos a força hidrostática total na barragem:

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1000 g x i * ( 3 - x i * ) . ∆ x

Transformando isso em uma integral, e lembrando que o bloco está submerso apenas de 0 até 1:

F = ∫ 0 1 1000 g x ( 3 - x ) . d x

Passo 3

No Passo 3 vamos resolver esta integral. Começando pela remoção das constantes:

F = 1000 g ∫ 0 1 x ( 3 - x ) . d x

Sabendo que g = 9,8 m s 2 :

F = 1000 ( 9,8 ) ∫ 0 1 ( 3 x - x ² ) . d x

Separando os termos:

F = 9800 ∫ 0 1 3 x . d x - ∫ 0 1 x 2 . d x

Agora é só resolver:

F = 9800 3 x 2 2 - x 3 3 1 0

Aplicando o intervalo:

F = 9800 3 . 1 2 2 - 1 3 3 - 3 . 0 2 2 - 0 3 3

F = 9800 3 2 - 1 3 = 9800 . 9 - 2 6  

F = 9800.7 6

Finalizando:

F ≅ 1,14 × 10 4   N

Resposta

1,14 × 10 4   N

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