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O plano que passa pela reta intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Bom, você já sabe que para determinar a equação de um plano são necessárias duas coisas:

  1. Ponto que pertence ao plano;
  2. Vetor normal ao plano.

Pois bem! Primeiro vamos determinar o ponto. Temos que ver um ponto que satisfaça essas duas equações:

x - z = 1 y + 2 z = 3

Vou fixar um valor de z . Por simplicidade em z = 0 . Assim temos um sistema:

x - 0 = 1 y + 2.0 = 3

Daí temos o ponto P 1 ( 1,3 , 0 ) que satisfaz os dois planos simultaneamente.

Aqui vou calcular a equação da reta de intersecção, pois vai ser útil quando calcularmos o vetor normal ao plano.

Outro ponto que satisfaz é com z = 1 :

x - 1 = 1     ∴ x = 2 y + 2.1 = 3     ∴ y = 1

Assim o segundo ponto pode ser P 2 ( 2,1 , 1 ) .

O vetor diretor da reta de interseção dos planos vai ser  P 1 P 2 → :

P 1 P 2 → = 2,1 , 1 - 1,3 , 0 = ( 1 , - 2,1 )

Assim a equação dessa reta é (vou usar P 1 ):

x = 1 + t y = 3 - 2 t z = t

Passo 2

Agora precisamos calcular o vetor diretor que vai ser perpendicular ao plano. Esse vetor deve ser perpendicular ao plano dado no enunciado. Se fizermos o produto vetorial do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano dado, vamos obter um vetor que é ortogonal aos dois ao mesmo tempo. É isso que vamos fazer agora!

O vetor diretor da reta é ( 1 , - 2,1 ) e o vetor do plano do enunciado é ( 1,1 - 2 ) . Assim o produto vetorial entre eles é:

v → = i → j → k → 1 - 2 1 1 1 - 2 = i → 4 - 1 + j → 1 + 2 + k → 1 + 2 = ( 3,3 , 3 )

Pronto! Agora temos um vetor perpendicular ao plano que queremos (item dois) e um ponto que passa pela reta, digamos P 1 ( 1,3 , 0 ) . Agora é só jogar essas informações na equação do plano!

Passo 3

Eba! Estamos quase lá! Agora que temos um vetor normal ao plano v → = a , b , c = ( 3,3 , 3 ) e um ponto P 1 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,3 , 0 ) é só jogar tudo isso na equação do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Lembrando que ( a , b , c ) são as coordenadas do vetor normal e x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto.

3 x - 1 + 3 y - 3 + 3 z - 0 = 0

3 x + 3 y + 3 z - 3 - 9 = 0

3 x + 3 y + 3 z = 12

E podemos deixar a resposta mais simplificada, dividindo tudo por 3 :

x + y + z = 4

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y + z = 4

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