Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^z int_0^(x + z) 6 x z d y d x d z

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^1 int_0^z int_0^(x + z) 6 x z d y d x d z

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em y . olha só:

I = int_0^1 int_0^z 6 x z [y]_0^(x + z) d x d z

Assim,

I = int_0^1 int_0^z 6 x z ( x + z ) d x d z

Arrumando as coisas:

I = int_0^1 int_0^z ( 6 x^2 z + 6 x z^2 ) d x d z

Passo 3

Integrando em x :

I = int_0^1 [6 z (x^3)/(3) + 6 z^2 (x^2)/(2)]_0^z d z

Logo,

I = int_0^1 (6 z (z^3)/(3) + 6 z^2 (z^2)/(2)) d z

Isto é,

I = int_0^1 5 z^4 d z

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em z . Vem comigo!

I = [(5 z^5)/(5)]_0^1

Fazendo as contas:

I = 1^5 - 0^5

Por fim,

I = 1

Resposta

1

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