Enunciado

Podem ser introduzidas variáveis adimensionais na equação de onda a 2 u x x = u t t da seguinte maneira:

  1. Seja s = x L e mostre que a equação de onda fica
  2. a 2 u s s = L 2 u t t

  3. Mostre que L a tem dimensão de tempo e, portanto, pode ser usada como a unidade na escala de tempo. Seja então t = a t L e mostre que a equação de onda se reduz a

u s s = u τ τ

Passo 1

A equação da onda é dada por:

a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 u ∂ t 2

Fazendo com que s = x L , temos:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ s d s d x = 1 L ∂ u ∂ s

Segue que:

∂ 2 u ∂ x 2 = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ s 2

Passo 2

E também temos que τ = a t L , então teremos:

∂ u ∂ t = a L ∂ u ∂ τ e ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 L 2 ∂ 2 u ∂ τ 2

A substituição na equação original resulta em:

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 u ∂ τ 2

u s s = u τ τ

Resposta

  1. ∂ 2 u ∂ x 2 = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ s 2
  2. ∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 u ∂ τ 2
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