Lista de Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Considerando α e L como sendo constantes positivas e g ( x ) como sendo uma função contínua no intervalo ( 0 ,   L ) , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

u t t = α 2 u x x u 0 , t = 0 = u x L , t ,           t > 0 u x , 0 = g x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

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Considere o problema de onda

α 2 u x x = u t t ,                     0 < x < π ,                   t > 0 u x 0 , t = 0 ,               u x π ,   t = 0 ,                 t ≥ 0 u x , 0 = 2 ,           u t x , 0 = 0 ,           0 ≤ x ≤ π

Encontre a expressão do deslocamento vertical u ( x , t ) usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere α > 0 .

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Considere o problema de onda

α 2 u x x = u t t ,                     0 < x < π ,                   t > 0 u x 0 , t = 0 ,               u x π ,   t = 0 ,                 t ≥ 0 u x , 0 = 2 ,           u t x , 0 = 0 ,           0 ≤ x ≤ π

Encontre a expressão do deslocamento vertical u ( x , t ) usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere a > 0 . (Sugestão: use a questão (2) com L = π )

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Considerando α e L como sendo constantes positivas e g ( x ) como sendo uma função contínua no intervalo ( 0 ,   L ) , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

u t t = α 2 u x x u 0 , t = 0 = u x L , t ,           t > 0 u x , 0 = g x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

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( a ) Mostre que o método de separação de variáveis se aplica para a equação

u t t + u x x + t u = 0

substituindo-a por um par de EDOs no caso de soluções de variáveis separadas.

( b ) Considere a equação da onda

u t t = 4 u x x ,     0 < x < 30 ,     t > 0

com as condições de contorno

u 0 , t = u x 30 , t = 0 ,     t > 0

( u nula em x = 0 e a derivada u x nula em x = 30 , para todo tempo t > 0 ).

Tomando

u x , t = U x T ( t )

mostre que X deve satisfazer o problema de autovalores (autofunções)

- X ' ' = λ X ,     X 0 = X ' 30 = 0

( c ) Resolva o problema de autovalores e autofunções

- X ' ' = λ X ,     X 0 = X ' 30 = 0

(Encontre todos os autovalores λ ' s e autofunções associadas.)

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Resolva o PVIF (problema de valor inicial e de fronteira)

u t t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t =   u x 1 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x   u t x , 0 = 0 ,     0 < x < 1 ,     0 < x < 1

pelo método de separação de variáveis.

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Determine a solução u x , t do problema

u t t x , t = u x x x , t , x ∈ 0 , π ,   t ∈ 0 , ∞ u x 0 , t = u x π , t = 0 , t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = 0 , x ∈ 0 , π u t x , 0 = x π - x , x ∈ 0 , π

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Usando o método de separação de variáveis, resolva a equação da onda abaixo:

4 u x x = u t t ,     0 < x < 3 π ,     t > 0 u 0 , t =   u 3 π , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = 2 sen ⁡ 5 x 3 - sen ⁡ 2 x 3   u t x , 0 = 0 ,     0 < x < 3 π ,     0 < x < 3 π

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Resolva a equação da onda

∂ 2 u ∂ t 2 x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + t x ,   0 < x < π ,   t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = s e n x ,     0 < x < π ∂ u ∂ t x , 0 = 5   s e n x + 2   s e n 2 x ,     0 < x < π

Dicas: A solução geral do problema é

u x , t = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π a t L + b n s e n n π a t L + L n π a ∫ 0 t h n s   s e n n π a L t - s d s s e n n π x L

Os h n t são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para t x . Os a n são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para s e n x , e os b n satisfazem ∂ u ∂ t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n n π a L s e n n π x L . Também ∫ a b u s e n   u d u = s e n   u - u cos ⁡ u a b .

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Resolva o problema de oscilação numa corda infinita (método de D’Alembert).

u t t = u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 1 + x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = - 8 x 1 + x 2 2 ,         - ∞ < x < ∞

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Use o método de D’Alembert para encontrar a solução do problema:

u t t = 4 u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = 1 ,         - ∞ < x < ∞

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Dado o seguinte problema de oscilação numa corda infinita:

u t t = 16 u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 1 + x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = - 8 x 1 + x 2 2 ,         - ∞ < x < ∞

Qual a forma da corda e sua velocidade de deformação quando t = 1 ? Qual é a velocidade para a qual se deslocam as deformações da corda?

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Dada a seguinte equação do da onda:

y t t = α 2 y x x ,     0 < x < L ,     t > 0 y 0 , t = 0 ,     y L , t = 0 y x , 0 = 0 ,     y t x , 0 = g x

  1. O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação da onda é y x , t = X x T t . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde λ é a constante de separação. Analise os casos λ = 0 , λ < 0 e λ > 0 .
  2. X ' ' + λ X = 0 X 0 = X L = 0 T ' ' + α 2 λ T = 0 T 0 = 0

  3. Substituindo os valores L = 5 , α = 3 e g x = x 2 escolha a extensão par ou ímpar de período 2 L que resolve o problema em (a) encontrando a solução u x , t . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.

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Use separação de variáveis para encontrar a solução da seguinte equação da Onda.

u t t = 4 u x x ,     0 < x < π u 0 , t = 0 ,     u π , t = 0 ,           t > 0 u x , 0 = 1 10 sen ⁡ 2 x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

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Questão 3: Determine a solução u x ,   t : 0 ,   4 × 0 ,   ∞ → R do problema

u t t = 4 u x x - u u x ,   0 = 0 u t x ,   4 = x 4 - x u x 0 ,   t = u x 4 , t = 0

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Questão 3: Encontre as soluções fundamentais (auto funções) para o seguinte problema (corda vibrante com extremidades livres):

α 2 u x x = u t t ,               0 < x < t ,     t > 0 u x 0 ,   t = 0               u x L ,   t = 0 ,     t > 0 u x ,   0 = x ,               u t x ,   0 = 0                                  

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Questão 3: Resolva o problema:

16 u x x = u t ,                               0 < x < 2 ,       t > 0   u x 0 ,   t = 0 ,   u x 2 ,   t = 0                         t ≥ 0 u x ,   0 = f x                                               0 ≤ x < 2 ,

Se a função f x é dada por

f x = - 1 ,         0 ≤ x < 1 ,   1 ,         1 ≤ x < 2

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Questão 4:

Vamos considerar a corda de um violão tocada puxando-a com perfil inicial u x , 0 = f x e soltando-a sem velocidade inicial u t x ,   0 = 0 . O movimento ideal da corda elástica sem amortecimento é dado pela solução da equação da onda unidimensional

u t t = u x x ;         0 < x < π ,         t ≥ 0

Com as condições de contorno das extremidades u 0 ,   t = 0 = u π ,   t . Se

f x = x             s e                           0 ≤ x < π / 2   π - x               s e           π 2 ≤ x ≤ π

A solução do problema acima é dada pela série:

u x ,   t = 4 π ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k - 1 2 sin ⁡ 2 k - 1 x cos ⁡ 2 k - 1 t

A série converge? Para qualquer x e t ? Explique e justifique.

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Mostre como se chega à solução do seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis i.e. assumindo y x , t = X x T t e justificando detalhadamente TODA a análise:

y t t = 9 y x x y 0 , t = y 3 , t = 0 y x , 0 = 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3           y t x , 0 = 0

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( c ) Determine uma sequência de soluções

u n x , t ,   n = 1,2 , …

linearmente independentes, da equação da onda

u t t - a 2 u x x = 0

satisfazendo a condição de contorno

u 0 , t = u x 0 , t = 0 ,     t > 0

e a condição inicial

u x , 0 = 0 ,     0 < x < L

( L > 0 ).

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Use o Método de D’Alembert para encontrar a solução do problema.

16 u x x x ,   t = u t t x ,   t , - ∞ < x ,   t < ∞

  u x ,   0 =   s e n 2 x , - ∞ <   x < ∞ ,

  u t x ,   0 =   c o s   2 x ,   - ∞ <   x < ∞ .

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Questão 3: Resolva o problema de valor inicial

u x x - u t t = 0                                           ,   0 < x < π ,   t > 0 u 0 ,   t = u π ,   t = 0             ,   t ≥ 0                                         u x , 0 = x ,     u t x ,   0 = 0             , 0 ≤ x ≤ π                      

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