Enunciado

Suponha que a corda no Problema 10 começa a partir da posição inicial f ( x ) = 8 x ( L - x 2 ) / L 3 . Siga as instruções no Problema 10 para esse novo problema.

Passo 1

Letra a:

Temos a seguinte equação:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n s i n n π x L c o s n π a t L

Daí, queremos achar o c n :

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n n π x L d x

Resolvendo, chegamos em:

c n = 512 3 c o s n π + ( 2 n - 1 ) π ( 2 n - 1 ) 4 π 4

Colocando na fórmula, chegamos em:

u ( x , t ) = 512 π 4 ∑ n = 1 ∞ 3 c o s n π + ( 2 n - 1 ) π ( 2 n - 1 ) 4 s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L c o s ( 2 n - 1 ) π a t 2 L

Passo 2

Na letra b:

Para L = 10   e   a = 1 , temos u ( x , t ) = 512 π 4 ∑ n = 1 ∞ 3 c o s n π + ( 2 n - 1 ) π ( 2 n - 1 ) 4 s i n ( 2 n - 1 ) π x 20 c o s ( 2 n - 1 ) π t 20

Segue o gráfico de u ( x , t ) por x para vários valores de t:

Passo 3

Letra c:

E agora, segue o gráfico de u ( x , t ) por t para vários valores de x :

Passo 4

Letra d:

Para a animação, utilizar algum programa para gráficos animados.

Resposta

  1. u ( x , t ) = 512 π 4 ∑ n = 1 ∞ 3 c o s n π + ( 2 n - 1 ) π ( 2 n - 1 ) 4 s i n ( 2 n - 1 ) π x 2 L c o s ( 2 n - 1 ) π a t 2 L
  2. Para a animação, utilizar algum programa para gráficos animados.
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