Enunciado

Ponto de Bifurcação. Para uma equação da forma,

d y / d t = f ( a , y ) ,     ( i )

Em que a é um parâmetro real, os pontos críticos (soluções de equilíbrio) dependem, em geral, do valor de a . Quando a aumenta ou diminui constantemente, acontece, muitas vezes, que, para determinado valor de a , chamado de ponto de bifurcação, os pontos críticos se juntam, ou se separam, e soluções de equilíbrio podem ser perdidadas ou podem aparecer. Pontos de bifurcação são de grande interesse em muitas aplicações porque, perto deles, a natureza das soluções da equação diferencial subjacente muda bruscamente. Por exemplo, em mecânica dos fluidos, um fluxo suave (laminar) pode se dispersar e se tornar turbulento. Ou uma coluna com carga axial pode empenar, subitamente, e exibir um grande deslocamento lateral. Ou, quando a quantidade de um dos produtos químicos em uma mistura aumenta, podem aparecer, subitamente, padrões de diversas cores em ondas espirais em um fluido originalmente quieto. Os problemas de 25 a 27 descrevem três tipos de bifurcação que podem ocorrer em equações simples da forma (i).

25. Considere a equação

d y / d t = a - y 2 ,         ( i i )

(a) Encontre todos os pontos críticos da Eq. (ii). Note que não existem pontos críticos se a < 0 , existe um ponto crítico se a = 0 e existem dois pontos críticos, se a > 0

(b) Desenhe a reta de fase em cada caso e determine se cada ponto crítico é assintoticamente estável, semiestável ou instável.

(c) Em cada caso, desenhe diversas soluções da Eq.(ii) no plano t y .

(d) Se fizermos o gráfico da localização dos pontos críticos em função de a no plano a y , obteremos a Figura 2.5.10, chamada de diagrama de bifurcação para a Eq.(ii). A bifurcação em a = 0 é chamada de bifurcação nó de sela. Esse nome é mais natural no contexto de sistemas de segunda ordem, que serão discutidos no capítulo 9.

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.

Passo 2

(a) Para sabermos quais são os pontos de equilíbrio de uma função, basta tomarmos quando sua derivada é nula, neste casa

d y / d t = a - y 2 = 0

Ou seja

y = ± a

Assim temos que, para a > 0 , temos y 1 = a e y 2 = - a . Para a = 0 , temos y = 0 . E para a < 0 , não temos raízes reais, e como estamos trabalhando no conjunto dos reais, dizemos que não a pontos de há pontos de equilíbrio para essa condição.

Passo 3

(b)

Para determinar a estabilidade dos pontos, devemos calcular a derivada segunda e analisar como cada ponto se comporta em seu contorno.

Tome que

d 2 y d t 2 = - 2 y

Assim temos que

Para y = a , temos que a derivada segunda é sempre negativa e torno deste ponto definindo assim um ponto instável. Para y = - a a nossa derivada segunda é sempre positiva em torno do ponto definindo um ponto estável. E para y = 0 temos que o ponto é dito semi estável, visto que a derivada segunda também é nula.

Passo 4

(c) O item solitita que extrapolamos o desenho feito no item (b) para mais algumas solução. Como isso já está bem definido no item (b), fica pra você desenhar no caderno, se achar que é necessário hahaha.

Passo 5

(d) Se tomarmos nossa função

y 2 = a

Temos que ela é uma parábola para a direita no plano a y , assim como sugere o enunciado e a Figura 2.5.10. Não temos muito que resolver neste item, a não ser observar nossa função e perceber o que foi apresentado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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