Enunciado

Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.

22. Suponha que uma dada população pode ser dividida em duas partes: os que têm determinada doença e podem infectar outros, e os que não têm, mas são suscetíveis. Seja x a proporção de indivíduos suscetíveis, e seja y a proporção de indivíduos infectados; então x + y = 1 . Suponha que a doença espalha-se através do contato entre os elementos doentes da população e os sãos, e que a taxa de disseminação d y / d t é proporcional ao número de tais contatos. Além disso, suponha que os elementos de ambos os grupos movem-se livremente, de modo que o número de contatos é proporcional ao produto de x e y . Como x = 1 - y , obtemos o problema de valor inicial

d y d t = α y 1 - y ,       y 0 = y 0

Em que α é um fator de proporcionalidade positiva e y 0 é a proporção inicial de indivíduos infectados.

(a) Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semiestável ou instável.

(b) Resolva o problema de valor inicial e verifique se as conclusões a que você chegou no item (a) estão corretas. Mostre que y t → 1 quando t → ∞ , o que significa que, finalmente, a população inteira ficará doente.

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.

Passo 2

(a) Os pontos de equilíbrio aparecem quando temos que a derivada da nossa função é nula, ou seja

d y d t = α y 1 - y = 0

Assim é fácil ver que, ou y = 0 ou y = 1 dois pontos de equilíbrio.

Para verificar a estabilidade deles, vamos calcular a derivada segunda e analisar como a função se comporta próximo ao nosso ponto.

d 2 y d t 2 = α [ 1 - y - y ) ] = α ( 1 - y 2 )

Em y 1 = 0 , temos que a derivada segunda é α uma constante positiva. Log otemos que em y 1 temos um ponto de estabilidade estável. Para y 2 = 1 temos que nossa derivada segunda é nula. Neste caso o que temos é um ponto semiestável.

Passo 3

(b) Agora o problema que que resolvemos nossa função a fim de achar uma solução.

Vamos usar a ideia de separação de variáveis e fazer

d y y 1 - y = α d t

A equação da esquerda pode ser resolvida por frações parciais e teremos

d y y - d y y - 1 = α d t

Integrando ambos os lados

ln ⁡ y - ln ⁡ ( 1 - y ) = ln ⁡ y y - 1 = α t + c

= y y - 1 = C e α t

Que podemos escreve que

y t = C e α t C e α t - 1 = 1 / ( 1 - e - α t / C )

Pela penúltima equação tiramos o valor da constante pelo valor inicial, em t = 0 → y 0 = y 0

y 0 y 0 - 1 = C

Ai ficamos com

y t = y 0 y 0 - y 0 - 1 e - α t

Passo 4

Agora tome que, quando y t → 1

Temos que

y 0 y 0 - y 0 - 1 e - α t → 1

Implica

y 0 → y 0 - y 0 - 1 e - α t

E assim temos que

1 - y 0 e - α t → 0

Como 1 - y 0 é constante, temos que

e - α t → 0 se e somente se t → ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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