Enunciado

Em que ponto a curva temcurvatura máxima? O que acontece com a curva quando x → ∞ ?

y = ln ⁡ x

Passo 1

O primeiro passo é obter as duas primeiras derivadas de y para depois aplicar a Fórmula 11.

y ' = 1 x

y ' ' = - 1 x 2

Passo 2

Agora, a partir dos valores obtidos na etapa anterior, aplicamos a Fórmula 11 para determinar a curvatura da função dada. ATENÇÃO nas manipulações feitas passo a passo abaixo!

k x = y ' ' 1 + ( y ' ) 2 3 / 2

k x = - 1 x 2 1 + 1 x 2 3 / 2

k x = 1 x 2 1 + 1 x 2 3 / 2

k x = 1 x 2 ⋅ 1 x 2 + 1 x 2 3 / 2

k x = 1 x 2 ⋅ x 2 3 / 2 x 2 + 1 3 / 2

k x = 1 x 2 ⋅ | x 3 | x 2 + 1 3 / 2

k x = | x | x 2 + 1 3 / 2

Como a função ln ⁡ x , só está definida em R para x > 0 , temos

k x = x x 2 + 1 3 / 2

Passo 3

Para encontrara a curvatura máxima precisamos determinar antes, os pontos críticos da função k ( x ) . Assim, iremos obter a derivada dessa função.

k ' x = x 2 + 1 3 2 - x 3 2 x 2 + 1 1 2 2 x x 2 + 1 3 2 2

k ' x = x 2 + 1 3 2 - 3 x 2 x 2 + 1 1 2 x 2 + 1 3

k ' x = x 2 + 1 1 2 [ x 2 + 1 - 3 x 2 ] x 2 + 1 3

k ' x = 1 - 2 x 2 x 2 + 1 5 / 2

Passo 4

Agora vamos fazer uma análise do resultado obtido no passo anterior!

A função k ' ( x ) obtida acima é nula quando 1 - 2 x 2 = 0 . Ou seja, x = 1 / 2 é abcissa do único ponto crítico de k ( x ) , já que x = - 1 / 2 não está definido para a curva y = ln ⁡ x , por ser negativo. Agora resta saber se o ponto é referente à um máximo da função.

Vamos então analisar o comportamento de k ' ( x ) .

Para 0 < x < 1 / 2 , temos k ' x > 0 , ou seja, a função curvatura k ( x ) é crescente.

Para x > 1 / 2 , temos k ' x < 0 , ou seja, a função curvatura k ( x ) é decrescente.

Assim concluímos que x = 1 / 2 é abcissa do ponto máximo da função curvatura Substituindo esse valor em y = ln ⁡ x   obtemos a ordenada do ponto da curva em que a curvatura é máxima. Logo, o ponto da curva que têm maior curvatura é

  x = 1 2 ,                 y = ln ⁡ 1 / 2

Passo 5

Por fim vamos analisar o comportamento da curva quando x → ∞ . Para isso observamos o limite da função curvatura no infinito. Temos

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 3 / 2 =   0

Portanto a curvatura da função y = ln ⁡ x tende a zero quando x caminha pro infinito.

Resposta

x = 1 2 ,                 y = ln ⁡ 1 / 2

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Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = t , ln ⁡ t ,t ln ⁡ t , 1 ≤ t ≤ 2
Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = t ,t ,t 2 , 1 ≤ t ≤ 4
Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = s e nt , cos ⁡ t ,t gt , 0 ≤ t ≤ π / 4
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