Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 30
Em que ponto a curva temcurvatura máxima? O que acontece com a curva quando ?
Passo 1
O primeiro passo é obter as duas primeiras derivadas de para depois aplicar a Fórmula 11.
Passo 2
Agora, a partir dos valores obtidos na etapa anterior, aplicamos a Fórmula 11 para determinar a curvatura da função dada. ATENÇÃO nas manipulações feitas passo a passo abaixo!
Como a função , só está definida em para , temos
Passo 3
Para encontrara a curvatura máxima precisamos determinar antes, os pontos críticos da função . Assim, iremos obter a derivada dessa função.
Passo 4
Agora vamos fazer uma análise do resultado obtido no passo anterior!
A função obtida acima é nula quando . Ou seja, é abcissa do único ponto crítico de , já que não está definido para a curva , por ser negativo. Agora resta saber se o ponto é referente à um máximo da função.
Vamos então analisar o comportamento de .
Para , temos , ou seja, a função curvatura é crescente.
Para , temos , ou seja, a função curvatura é decrescente.
Assim concluímos que é abcissa do ponto máximo da função curvatura Substituindo esse valor em obtemos a ordenada do ponto da curva em que a curvatura é máxima. Logo, o ponto da curva que têm maior curvatura é
Passo 5
Por fim vamos analisar o comportamento da curva quando . Para isso observamos o limite da função curvatura no infinito. Temos
Portanto a curvatura da função tende a zero quando caminha pro infinito.