Enunciado

Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = 2 t   i + 1 - 3 t j + 5 + 4 t k

Passo 1

O primeiro passa desse exercício é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = 2   i - 3 j + 4 k

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 2 2 + - 3 2 + 4 2

r ' t = 4 + 9 + 16

r ' t = 29

Passo 2

A função comprimento de arco é dada por

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 29 d t

s t = 29   t

Passo 3

Do Passo 2, obtemos:

t = s 29

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos:

r t s = 2 s 29 i + 1 - 3 s 29 j + 5 + 4 s 29 k

r s = 2 s 29 i + 1 - 3 29 s j + 5 + 4 29 s k

Resposta

r s = 2 s 29 i + 1 - 3 29 s j + 5 + 4 29 s k

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