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Encontre as equações para o círculo osculador da parábola y = 1 2 x 2 nos pontos ( 0,0 ) e 1 , 1 2 . Trace os dois círculos osculadores e a parábola na mesma tela.

Passo 1

O circulo osculador tem raio r = 1 / κ , ou seja o raio é o inverso da curvatura da função no ponto, então para saber o raio, basta calcular a curvatura.

Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura

κ x = f ' ' x [ 1 + f ' x 2 ] 3 / 2

Vamos ter que derivar a função duas vezes

f ' x = x

f ' ' x = 1

Passo 2

Substituindo na fórmula, temos

κ x = 1 [ 1 + x 2 ] 3 / 2 = 1 [ 1 + x 2 ] 3 / 2

No ponto 0,0

κ 0 = 1 [ 1 + 0 2 ] 3 / 2 = 1

Então o raio do círculo osculador é

r = 1 κ = 1

No ponto 1 , 1 2

κ 1 = 1 [ 1 + 1 2 ] 3 / 2 = 1 2 2

Então o raio é

r = 1 κ = 2 2

Passo 3

Analisando o gráfico da parábola

No ponto 0,0 , temos que o vetor normal da função é vertical no sentido negativo, então o centro da circunferência estára no eixo y , mas no sentido contrário a normal. Como o ponto é a origem e o centro estará no eixo y , o y c do centro tem que ter distancia do ponto igual ao raio, como o raio é 1 o y c = 1 . Então temos a equação da circunferência com a equação

x 2 + y - 1 2 = 1

No plano

Passo 4

No ponto 1 ,   1 2 , temos que a inclinação da tangente da função é

f ' 1 = 1

Então a normal, que é perpendicular tem inclinação - 1 . O centro da circunferência tem que estar nessa reta perpendicular a tangente, com distancia do ponto igual ao raio r = 2 2

Então precisamos achar um ponto ( x , y ) que é o centro da circunferência, esse ponto tem que estar na reta y = - x + 3 2 e ter distancia 2 2 do ponto 1 ,   1 2 .

Primeiro, se o ponto está na reta   y = - x + 3 2 , então temos que o ponto é x , - x + 3 2 , calculando agora a distancia do ponto 1 ,   1 2

d = x - 1 2 + y - 1 2 2

d = x - 1 2 + - x + 3 2 - 1 2 2

d = x - 1 2 + - x + 1 2

Podemos perceber que x - 1 2 = - x + 1 2 , já que podemos colocar - 1 em evidencia e o quadrado some com ele, então

d = 2 x - 1 2

d = x - 1 2

Substiruindo o valor da distancia

2 2 = x - 1 2

2 = x - 1

Neste ponto, vamos assumir que x < 0 , porque se x for positivo, pegaremos o ponto no outro sentido em relação a normal, então tiraremos o módulo e colocaremos um menos fora pra compensar

2 = - ( x - 1 )

2 = - x + 1

1 = - x

x = - 1

Se x = - 1

y = - x + 3 2

y = - ( - 1 ) + 3 2

y = 1 + 3 2 = 5 2

Então o centro da circunferência é - 1 ,   5 2 e a equação é

x + 1 2 + y - 5 2 2 = 2 2 2

No plano

Resposta

No ponto ( 0,0 )

x 2 + y - 1 2 = 1

No ponto 1 ,   1 2

x + 1 2 + y - 5 2 2 = 2 2 2

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