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Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.)

r t = s e n   t , cos ⁡ t ,   t g   t ,                 0 ≤ t ≤ π / 4

Passo 1

O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:

L = ∫ a b | r ' t | d t

O primeiro passo então, é obter a derivada r ' ( t ) .

r ' t = ( cos ⁡ t , - s e n   t , sec 2 ⁡ t )

Passo 2

Agora, obtemos o módulo da função derivada r ' t . Temos

r ' t = cos 2 ⁡ t + - s e n   t 2 + sec 2 ⁡ t 2

Sabemos que s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 . Portanto, temos

r ' t = 1 + sec 4 ⁡ t

Passo 3

Obtido o módulo da derivada, substituímos o valor na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ 0 π / 4 | r ' t | d t

= ∫ 0 π / 4 1 + sec 4 ⁡ t d t

Utilizando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação da integral acima. Obtemos:

∫ 0 π / 4 1 + sec 4 ⁡ t d t ≈ 1,2780

Resposta

L ≈ 1,2780

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