Enunciado

O ponto P ( 2 , - 1 ) está sobre a curva y = 1 1 - x .

  1. Se Q é o ponto x , 1 1 - x ,   use sua calculadora para determinar a inclinação da reta secante P Q , com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x :

(i)1,5 (ii) 1,9 (iii)1,99 (iv) 1,999

(v) 2,5 (vi) 2,1 (vii) 2,01 (viii)2,001

(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P 2 , - 1 .

(c) Usando a inclinação da parte (b), encontre uma equação da reta tangente à curva em P 2 , - 1 .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que um ponto P ( 2 , - 1 ) está sobre a curva y = 1 1 - x .

Sabendo disso, a questão pede para que, com uma calculadora, a gente determine a inclinação da reta secante P Q , com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x :

(i)1,5 (ii) 1,9 (iii)1,99 (iv) 1,999

(v) 2,5 (vi) 2,1 (vii) 2,01 (viii)2,001

Depois, a questão quer que estimemos o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P 2 , - 1 .

Por fim, a questão quer que calculemos uma equação da reta tangente à curva em P 2 , - 1 .

Vamos explicando direitinho à medida que a gente vai respondendo cada letra dessa em cada passo abaixo, certinho??

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular os valores dos pontos para Q de acordo com cada x dado.

Para isso, basta substituir cada valor na fórmula dada do ponto.

Assim, calculamos a inclinação da reta para cada ponto Q com P , ou seja o valor de m = ∆ y ∆ x para cada reta secante P Q . Você pode observar os resultados na tabela abaixo.

Passo 3

Para calcular a inclinação da reta tangente podemos fazer a média das inclinações das duas retas secantes mais próximas, ou , como neste caso a maioria dos resultados são próximos, verificamos que eles giram em torno de 1 .

Logo, podemos concluir que a inclinação da reta tangente é aproximadamente 1   .

Passo 4

Utilizando m = 1 (inclinação da reta tangente), a equação da reta tangente para o ponto P ( 2 , - 1 ) é dada por:

y - y 0 = m x - x 0 ∴

y - - 1 = 1 x - 2 ∴

y = x - 3

Resposta

a)

b) a inclinação da reta tangente é aproximadamente 1 ;

c) y = x - 3

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Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.16)y = x 2 + 2 x + 1 ; ( 1,4 )
Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.14)y = x 2 - x + 2 ; ( 2,4 )
Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.13)y = x 2 - 4 x - 5 ; ( - 2,7 )
Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.19)y = x 4 - 4 x ; ( 0,0 )
Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.15)y = 1 8 x 3 ; ( 4,8 )