Enunciado

Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f x ⁡ existe:

f x = 1 + x x 2 2 - x         s e s e s e   x < - 1 - 1 ≤ x < 1 x ≥ 1

Passo 1

Falaaaaaa aí, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função f x :

f x = 1 + x x 2 2 - x         s e s e s e   x < - 1 - 1 ≤ x < 1 x ≥ 1

Com isso, a questão nos pede para esboçar o gráfico de f x e utilizá-lo para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f x existe.

Nesse sentido, vamos entender cada parte da função para esboçar o gráfico.

Em seguida, vamos aplicar os limites laterais para determinar o valor de a .

E aí?? Bora lá??!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos montar um gráfico para cada parte:

Show de bola, agora vamos aplicar as condições:

E, unindo os gráficos com auxílio de uma calculadora gráfica, temos:

f x = 1 + x x 2 2 - x         s e s e s e   x < - 1 - 1 ≤ x < 1 x ≥ 1

Passo 3

Show de bola. Olhando de novo pra nossa f x , vemos que ela é definida por partes em intervalos bem determinadinhos:

f x = 1 + x x 2 2 - x         s e s e s e   x < - 1 - 1 ≤ x < 1 x ≥ 1

E saca só, em cada intervalo, a lei de formação também é muito bem definida! E definida por polinômios diferentes!

Bem, polinômios não são funções com pegadinhas.

Pra qualquer polinômio P x de qualquer ordem, vale:

lim x → a - ⁡ P x = lim x → a + ⁡ P x

a ∈ I R

E logo, o limite existe.

Ok mas perai, então não existe nenhum x = a em que o limite de f x não exista?

Calma gafanhoto, nossa função f x não é um polinômio e sim uma função definida por partes com cada parte sendo um polinômio. No ponto em que a lei de formação muda, pode dar ruim.

Vamos testar então!

Passo 4

Para a = - 1 temos:

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ 1 + x = 1 - 1 = 0

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x ² = - 1 2 = 1

Então o limite em a = - 1 não existe galera, já que os limites laterais são diferentes.

Poderíamos resolver também pra a = - 1 olhando pro gráfico que montamos e vendo que em x = - 1 as funções não se conectam.

Pra a = 1 agora, temos:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 = 1

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 2 - x = 2 - 1 = 1

Opa, os limites aqui são iguais! Então só mesmo em a = - 1 que o limite não existe! Feshow

Resposta

Existe lim x → a ⁡ f x para todo a ∈ I R - - 1

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