Enunciado

O ponto P 1,0 está sobre a curva

y = sin ⁡ ( 10 π / x )

Se Q for o ponto ( x , sin ⁡ ( 10 π / x ) ) , encontre a inclinação da reta secante P Q (correta até a quarta casa decimal) para x = 2 ,   1,5 ,   1,4 ,   1,3 ,   1,2 ,   1,1 ,   0,5 ,   0,6 ,   0,7 ,   0,8   e   0,9 . As inclinações parecem tender a um limite?

Use um gráfico da curva para explicar por que as inclinações das retas secantes da parte (a) não estão próximas da inclinação da reta tangente em P .

Escolhendo as retas secantes apropriadas, estime a inclinação da reta tangente em P .

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a questão nos pede para calcularmos a inclinação das retas secantes PQ, sendo P um ponto fixo 1,0 e Q um ponto dado pela equação x , sin ⁡ 10 π x .

Primeiramente, calcularemos os valores de y da função y = sin ⁡ ( 10 π / x )   para cada x dado, e iremos montar uma tabela para facilitar nossa visualização.

Assim, sabemos os valores dos pontos Q .

Depois para calcular a inclinação entre P e Q , faremos:

m = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1

Onde f x 1 e x 1 são as coordenadas y e x do ponto P e f x 2 e x 2 as coordenadas y e x do ponto Q .

Passo 2

Encontrando os valores de y do ponto Q , por exemplo para x = 2 , temos:

y = sin ⁡ 10 π 2 = 0

Para x = 1,5 temos:

y = sin ⁡ 10 π 1,5 = 0,866025404

E faremos isso para os valores de x dados.

Agora, utilizando a fórmula da inclinação da reta secante.

m = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1

Onde x 1 e x 2 são os intervalos onde queremos encontrar a inclinação da reta secante.

Sabemos que P x 1 , f x 1 foi dado P ( 1,0 ) , então, substituindo em m ficamos com

m = f x 2 x 2 - 1

Entao, agora podemos construir uma tabela com todos os valores calculados, basta substituirmos x 2 por cada valor de x dado no enunciado e f x 2 por cada y associado aos respectivos valores de x dados (os valores calculados na tabela acima).

Por exemplo, para x = 2 , temos Q 2,0 , logo:

m = 0 2 - 1 = 0

Para x = 1,5 , temos Q ( 1,5 ; 0,8660 ) , logo:

m = 0,8660 1,5 - 1 = 1,7321

Fazendo para os demais valores, obtemos:

As inclinações não parecem tender a um limite quando x → 1

Passo 3

Esboçando o gráfico da curva y = sin ⁡ ( 10 π / x )  

Podemos ver que as inclinações das retas secantes não estão próximas da inclinação da reta tangente, pois o gráfico da função oscila muito rapidamente

Passo 4

Se pegarmos dois pontos muito próximos do ponto P , nós conseguiremos ter uma aproximação razoável, então escolheremos x = 1,0001 e x = 0,9999 , calcularemos as inclinações das retas secantes e então calcularemos a inclinação da reta tangente.

Para x = 1,0001

y = - 0,0031

Calculando a inclinação da reta secante ( m ) e usando o ponto P ( 1,0 ) , ficamos com

m = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1 = - 0,0031 - 0 1,0001 - 1 = - 31

Para x = 0,9999

y = 0,0031

Calculando a inclinação da reta secante ( m ) e usando o ponto P ( 1,0 ) , ficamos com

m = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1 = 0,0031 - 0 0,9999 - 1 = - 31

Com isso, podemos ver que a inclinação da reta tangente (que é a média das inclinações das retas secantes) é igual a - 31 .

Resposta

As inclinações das retas secantes não estão próximas da inclinação da reta tangente pois o gráfico da função oscila muito rapidamente.

A inclinação da reta tangente é - 31

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